Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл в пределах от a до b от неотрицательной функции f(x) равен площади криволинейной трапеции

Определенный интеграл в пределах от a до b от неотрицательной функции f(x) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной этой функцией, осью x и прямыми x = a, x = b. Значит, площадь S пластины такой формы можно определить по формуле

Если функция f(x) < 0, то площадь криволинейной трапеции определяется по формуле

Если функция f(x) пересекает ось 0x, то площадь соответствующей криволинейной фигуры определяют путем разбиения ее на части и применения для каждой части формулы:

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:.

Решение.

1. Строим графики функций (см. рис. 3.2).

Рисунок 3.2 Плоская фигура.

2. Определяем координаты точек пересечения линий: A(–1,–1), B(1,1).

3. Вычисляем площадь заштрихованной фигуры как разность площадей двух фигур (первая ограничена осью 0x, линией y₂ и прямыми x = – 1 и x = 1; вторая – осью 0x, линией y₁ и прямыми x = – 1 и x = 1):

=

Задание 1. Вычислить определенные интегралы:

1. ; 2. ; 3. dx;

4. ; 5. ; 6. ;

7. 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12..

Задание 2. Вычислить площадь пластины, образованной пересечением двух линий: ; , Функции f (x) и g (x) для разных вариантов помещены в нижеприведенной таблице.

Вариант			Вариант
	x + x^2 –2	–x/2 –1		4x–x^2–3	–2
	x^2 – x – 2	–2 - x/2		5x–x^2–6	–2
	x^2–3x + 2			(x–1)^2 +2	3 + 3x/4
	2 +3 x + x2	2 + x		(x + 1)^2 – 4	x–1
	x^2 +2 x–3			(x + 1)^2 –2	(x–1)/2
	x^2–4x + 3	1–x/3		2–(x–2)^2	x/2
	x^2 + 4x + 3	x + 3		1–(x–1)^2	–1 + x/2
	x^2 –2 x–3	–x		(x–2)^2–2	–2 + x/2
	1–x^2	x		x(4–x)	x/2–1
	2–x^2−х	–1			–2 + 2x/5
	3 x–x^2–2	(x–1)/2			x/2
	3–x^2 –2 x	x–1			1 + x/2

Дата добавления: 2014-01-11