Функции многих переменных

Введем понятие области и ее границы.

-окрестность точки. Рассмотрим некоторую точку М₀ (х₀,у₀) плоскости (x0y). Множество точек (x,y), удовлетворяющих неравенству < (>0), называют -окрестностью точки (х₀,у₀).

Говорят, что точка (x₀ , y₀) является внутренней точкой множества D, если она принадлежит этому множеству с некоторой ее -окрестностью.

Множество, состоящее из одних внутренних точек, называется открытым.

Множество называется связным, если любые его точки можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащей этому множеству.

Область. Открытое связное множество называют областью.

Граница области. Точка, не принадлежащая области, называется граничной, если каждая ее окрестность содержит точки, принадлежащие области. Множество всех граничных точек области называют границей области.

Замкнутая область. Объединение области и границы называется замкнутой областью.

Ограниченная область. Область называется ограниченной, если существует круг, внутри которого она содержится.

Компакт. Ограниченная замкнутая область называется компактом.

Пусть в пространстве задана декартова система координат (0xyz) и некоторое множество D точек на плоскости (х0у).

Определение. ( Функция двух переменных)

Переменная z называется функцией двух переменных (х,у), если каждой упорядоченной паре чисел (х,у) D по определенному закону f ставится в соответствие число z: z = f(x,y).

Множество D называют областью определения (или существования) функции z = f(x,y), а множество Е = { z | z = f(x,y), (х,у) D } – областью ее значений.

Областью определения D может быть часть плоскости (x0y) или вся плоскость, а областью ее значений Е – некоторый промежуток на оси z.

Рассмотрим множество = { (x, y, z= f(x,y) | (x,y)D }, где f(x,y) – некоторая функция двух переменных.

Множество называют графиком функции двух переменных. Как правило, график функции двух переменных геометрически представляет некоторую поверхность (рис. 4.4). Ее проекция на координатную плоскость х0у совпадает с областью определения D.

Примеры.

Найти области определения и области значений заданных функций:

1) z ;

2) z =,

3) z = y + arcsin(x + 2),

4) z = ln(x 2 + y 2 –1),

5) z .

Дата добавления: 2014-01-11