Дифференциалы высших порядков. Определение 19.2. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциаломили дифференциалом второго порядка

Определение 19.2. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

Обозначение: d²y=d(dy).

При вычислении второго дифференциала учтем, что dx не зависит от х и при дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель.

Итак, d²y=d(dy)=d(f΄(x)dx)=(f΄(x)dx)΄dx=(f΄(x))΄(dx)²=f΄΄(x)dx². (19.3)

Подобным же образом можно найти третий дифференциал от данной функции:

d³y=d(d²y)=f΄΄΄(x)d³x и дифференциалы более высоких порядков.

Определение 19.3. Дифференциалом n -го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n -1)-го порядка:

dⁿy = d(d^n-1y) = (f^(n-1)(x)d^n-1x)΄ = f⁽ⁿ⁾(x)dⁿx. (19.4)

Свойства дифференциалов высших порядков.

1. Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

. (19.5)

1. Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.

Покажем это на примере второго дифференциала. Если y=F(φ(x))=F(u), где u=φ(x), то d²y=d(F΄(u)du). Но du=φ΄(x)dx зависит от х, поэтому d²y=d(F΄(u))du+F_u΄(u)d(du)=F΄΄_uu(u)(du)²+F_u΄(u)d²u, где d²u=φ΄΄(x)(dx)². Таким образом, форма второго дифференциала изменилась при переходе к аргументу u.

Дата добавления: 2014-01-11