ЛЕКЦИЯ №3. Одним из основных принципов квантовой механики является принцип неопределенности, который устанавливает принципиальную невозможность одновременного точного

ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Одним из основных принципов квантовой механики является принцип неопределенности, который устанавливает принципиальную невозможность одновременного точного измерения координаты и импульса частицы или энергии и момента времени.

Действительно, как было показано в Лекции 1, правильное описание свободного движения частицы дается не функцией Де Бройля, а волновым пакетом, то есть суммой близких по значению импульса волн Де Бройля. При этом приближенно можно считать, что область локализации частицы Δ х и область наиболее вероятных значений импульса Δ р на основании (1.18) связаны соотношением

, (3.1)

называемым соотношением неопределенностей для координаты и импульса частицы.

Физический смысл соотношения (3.1), являющийся содержанием принципа неопределенности Гейзенберга, состоит в том, что у квантовой частицы не могут быть одновременно точно измерены координата и импульс. Так, при более точном измерении координаты величина Δ х уменьшается, но тогда должна увеличиваться ошибка измерения импульса Δ р, и наоборот. В силу малой величины h это справедливо только для квантовых частиц, локализованных в области атомных размеров. Для классических частиц, имеющих макроскопические размеры, можно считать h = 0, тогда из (3.1) следует

,

что означает возможность одновременного точного измерения координаты и импульса. Предельный переход h → 0 в квантовомеханических формулах называется переходом в квазиклассическое приближение.

Отражением глубокой связи между физикой и математикой, как показал Э. Ферми, является возможность формального получения предельной формулировки принципа неопределенности из свойств интегрального преобразования Фурье, связывающего координатное пространство и обратное k -пространство (или, с учетом формулы р=ћk, импульсное пространство).

Предположим, что частица имеет точно определенное значение координаты х=х ₀. Тогда ее волновая функция, являющаяся собственной функцией оператора координаты с непрерывным собственным значением х₀, т.е.

имеет вид d-функции Дирака, т.е.

.

Представим рассматриваемую волновую функцию в виде интеграла Фурье в k - и р - пространствах:

где ² – плотность вероятности того, что частица имеет импульс р. С помощью обратного преобразования Фурье найдем

.

Это означает, что частица, у которой точно известна координата, с одинаковой вероятностью может иметь любое значение импульса от –¥ до ¥.

Легко доказать, что верно и обратное утверждение, т.е. частица, у которой точно известен импульс, может с равной вероятностью иметь любую координату от –¥ до ¥. Таким образом, из формальных соображений получена формулировка принципа неопределенности в предельном случае.

Соотношения неопределенностей для конечных Δ х и Δ р можно получить также, из следующих простых физических соображений. Проварьируем формулу Де Бройля p=ħk (запишем ее в конечных приращениях):

δ p=ħ δ k=ħδ (2π/l)= – ħ (2π/l²) δl.

Учитывая, что неопределенность длины волны Де Бройля δl≈δ х, где δ х – неопределенность координаты частицы, а также то, что для квантового объекта размеры, меньшие длины волны Де Бройля, не имеют смысла и, следовательно, δl ≈ δ х ≈l, получим

|δ p | ≈ ħ2π/ |δ x|

или, что совпадает с (3.1),

|δ p | |δ x |≈ h.

Это соотношение не противоречит более строгому соотношению, полученному впервые В.Гейзенбергом:

|δ p ||δ x |≥ ħ /2. (3.1¢)

Проварьируем теперь соотношение Планка E = hn:

δ E=h δ n = h δ(1/ T)= - h (1/ T ²)δ T.

Полагая, что в течение времени Т происходит переход между энергетическими состояниями квантовой системы, можно считать неопределенность измерения этого времени δ T ≈ Т. Тогда получим

|δ E| ≈ h |1/δ T |

или

|δ E | |δ T| ≈ h. (3.2)

то есть невозможно одновременно измерить энергию системы и временной интервал самого измерения. Более строгий вывод, проведенный Гейзенбергом, даёт неравенство:

|δ E | |δ T| ≥ ħ. (3.2¢)

Одновременно измеримыми величинами являются, например, импульс и энергия, действительно

Невозможность одновременного измерения некоторых физических величин в квантовой механике требует формального описания.

Определение

Физические величины F и G одновременно измеримы, если соответствующие операторы и обладают общей системой собственных функций.

В принятых обозначениях, рассматривая для простоты только дискретный спектр, это определение означает:

.

Определение

Коммутатором операторов двух физических величин называется оператор

.

Теорема

Для того, чтобы физические величины F и G были одновременно измеримы, необходимо и достаточно, чтобы коммутатор их операторов был равен нулю:

, (3.3)

или, как еще принято говорить, чтобы операторы и коммутировали:

. (3.4)

Доказательство

Пусть физические величины F и G одновременно измеримы, следовательно, они имеют общий полный базис собственных функций. Тогда любую волновую функцию можно представить в виде

.

Подействуем на произведением операторов:

.

Из полученных равенств следует, что , то есть необходимое условие теоремы доказано.

Докажем условие достаточности, ограничившись невырожденным спектром. Пусть операторы и коммутируют и оператор имеет систему собственных функций { y_n }, то есть

.

Пусть действие оператора на функции y_n дает некоторую функцию j_n, то есть

.

Подействуем на j_n оператором :

.

Таким образом, j_n также является собственной функцией оператора , то есть тоже образует полный базис. Но в силу единственности базиса (невырожденности спектра) j_n может отличаться от y_n только на некоторую константу, то есть

.

Тогда

,

следовательно, операторы и имеют общую систему собственных функций. Теорема доказана.

Для примера вычислим коммутатор операторов импульса и координаты. Пусть

,

тогда

, (3.5)

что соответствует ранее полученному результату, состоящему в том, что координата и импульс не могут быть измерены одновременно.

Дата добавления: 2014-01-11