ЛЕКЦИЯ №4. Как известно, классическая механика родилась после формулирования уравнений динамики Ньютона, теория относительности приняла законченную форму после

Уравнение Шредингера

Как известно, классическая механика родилась после формулирования уравнений динамики Ньютона, теория относительности приняла законченную форму после построения А.Эйнштейном общей теории относительности, описывающей динамику релятивистских частиц. Так и квантовая механика родилась после формулирования Шредингером в 1926 г. динамического уравнения для нерелятивистских квантовых частиц. Часто уравнение Шредингера называют пятым постулатом квантовой механики, но все-таки оно не было угадано, и для его формулировки существуют определенные физические основания.

Пусть известно значение волновой функции y(х, t) в момент времени t =0, т.е. y (х,0 )^~. Так как волновая функция полностью характеризует поведение частицы, то она должна определять и ее поведение в любые другие моменты времени, т.е. из волновой функции y (х,0 ) должна однозначно определяться функция y (х, t). Рассмотрим функцию y (х,D t) в момент времени D t, бесконечно мало отличающийся от нуля. Тогда

Согласно сказанному, коэффициент при D t должен определяться из y (х,0):

, (4.1)

где – некоторый оператор, действующий на y (х,0). Оператор осуществляет смещение во времени и должен быть найден из основных квантовых положений. Для определения его явного вида рассмотрим волновую функцию свободно движущейся частицы с определенным импульсом . Для такого движения волновая функция совпадает с волной Де Бройля (1.7). Получим для нее явный вид оператора смещения во времени :

,

где введен оператор

,

являющийся результатом квантования функции Гамильтона

и для свободного движения частицы совпадающего с оператором кинетической энергии . В общем случае при наличии потенциального поля V гамильтониан

будет иметь вид:

. (4.2)

Таким образом, для свободного движения оператор смещения во времени имеет вид:

. (4.3)

В квантовой механике постулируется, что

оператор смещения во времени всегда (для любого движения) выражается через гамильтониан по формуле (4.3).

Тогда окончательно уравнение для волновой функции записывается следующим образом:

. (4.4)

Это уравнение называется уравнением Шредингера. В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан не зависит от времени. В этом случае в уравнении Шредингера можно провести разделение переменных. Представим волновую функцию в виде , подставим ее в (4.4), разделим переменные и, обозначив постоянную разделения через Е, получим уравнения

Дата добавления: 2014-01-11