Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между ДВИ по области Д и КРИ по контуру этой области.

Теорема 6.1: если функции f(x,y) и f(x,y) определены и непрерывны в месте со своими частными производными и в области Д в плоскості XOY ограниченной замкнутой линией (контура) Г, то справедлива формула: (1) - формула Грина, выражающая связь между ДВИ и КРИ.

Доказательство:

Проведем доказательство для правильной области Д на плоскости ХОУ. Пусть, например

Покажем, что (2) для этого в левой части перейдем к повторным интегралам

(**)

Преобразуем правую часть (*)

Так как равны правые части в формулах (*) и (**), то равны и левые части этих формул равны

(3)

Аналогічно считая , то полу чим (4).

Вычтем из (4) (3) .

Замечание: формула Грина остается справедливой и для произвольной области, т. к. ее всегда можно представить в виде объединения правильных подобластей. ,

Запишем формулу Грина для Д₁ и Д₂: (5)

(6)

Пример: вычислить КРИ , где

6.2. Условия (критерии) равенства нулю контурного интеграла.

Теорема 6.2. Если во всех точках области Д ограниченной замкнутой линией контура Г функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными: Q^I(x) и P^I(y), то КРИ по любому замкнутому контуру Г_о, который лежит в области Д равен нулю, тогда и только тогда, когда во всех точках области Д, ЧП Q^Ix и P^Iy равны между собой.

Пример: Г: x² + y² = R²

.

Дата добавления: 2014-01-11