Аналитическая функция

Теорема 18.2.

Все основные элементарные ФКП дифференцируемы во всех точках своей области определения.

Опр_3. Если ф-ия f =w(z) дифференцируема не только в т. Z, но и в некоторой её окрестности, то она называется аналитической в этой точке.

Ф-ия, аналитическая в каждой точке открытой области (без учета границы области) называется аналитической в этой области (голоморфной, моногенной, регулярной, правильной)

Опр_4. Те точки комплексной плоскости z в которых ф-ия f(z) аналитическая, назыв. Правильными точками ф-ии f(z). Те точки, в которых ф-ия не аналитическая (в частности таких не существует) называются особыми точками ф-ии f(z).

Пример: выяснить, является ли ф-ия w=z*Re z аналитичной:

W=(x+iy)x=x²+ixy => |U=x², V=xy| =>U’_x=2x V’_x=y

V’_y=0 U’_y=x

=>|U’_x=V’_y | => 2x = x => x=0 => z=0.

|U’_x=-V’_x | 0 = -y y=0

Условия КРЭДА позволяют по действительной или мнимой части восстановить саму аналитическую ф-ию w=f(z).

Иными словами, если одна из двух ф-ий или U(x,y) или V(x,y) задана, то другая ф-ия определяется из условия U’_x = V’_y, V’_x = - U’_y, т.е. находятся по её двум ч/п.

Пример: найти аналитическую ф-ию по её мнимой части: V(x,y) = 3x+2xy

V(x,y)=3x+2xy => |V’_x=3+2y U’_x=2x | =>

| V’_y=2x U’_y=3-2y |

U=∫U’_xdx = ∫2xdx + φ(x) = x² + φ(x)

U=∫U’_ydy=-∫(3+2y)dy + ψ(x) = -3y - y² + ψ(x)

U=x²-3y-y²+C

W=f(z)=U(x,y)+iV(x,y)=(x²-3y-y2+C)+i(3x+2xy)=

= | z=x+iy => x=(z+z)/2| = z² +3iz +C.

| z=x-iy => y=i(z-z)/2|

Дата добавления: 2014-01-11