Теорема 18.1. (Критерий дифференц. ф-ии в т.)

∆U/∆x = ∆V/∆y   ∆V/∆x = - ∆U/∆y

Если ф-ия ∆w=f(x) определена в т. Z=x+iy и некоторой её окрестности, то для дифференцируемости ф-ии ∆w=f(x) в т. Z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали ч/п функций U(x,y) и V(x,y) и выполнялись следующие условия: - условия КРЭДА (5).

Следствие: если условие КРЭДА выполняется, то производную ФКП можно найти по одной из четырёх формул:

f `(z)= ∆U/∆x + i∆V/∆x = ∆V/∆y + i∆V/∆x =

= ∆U/∆x - i∆U/∆y = ∆V/∆y - i∆U/∆y

Пример: (е^z)^z = e^z

W(z)=e^z = e^x(cosy + isiny) = e^x cosy +ie^x siny

U(x,y) = e^x cosy U’_x=e^xcosy, V’_x=e^xsiny =>

V(x,y) = e^x siny U’_y=e^x siny, V’_y=e^x cosy =>

ð U’_x=V’_y => w = e^z

ð U’_y=V’_x

Следовательно, f ‘(z)=U’_x+iV’_x = e^xcosy + ie^xsiny =

= e^x (cosy +isiny) = e^x

Дата добавления: 2014-01-11