Критерий дифференцируемости ФКП

Любую ФКП можно представить в виде w=f(z)=

=f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y), где U(x,y) – Re w

V(x,u) – Im w

∆w=f(x+iy)-f(z)=(U(x+∆x),(y+∆y))+iV(x+∆x),(y+∆y))-

- (U(x,y)+iV(x,y))=(U(x+∆x),(y+∆y)-U(x,y))+

+i(V(x+∆x),(y+∆y)-V(x,y))= ∆U + ∆V.

f `(z)=lim_∆x->0∆w/∆z = lim_∆x->0(∆U + i∆V)/(∆x + i∆y) (2).

Пусть ф-ия ∆w=f(x) имеет производную в точке z. Тогда предел (2) согласно определению производной не зависит от направления при котором т. Z+∆Z -> Z. А если это так, то считаем, что т. Z+∆Z приближается к т. Z по прямой параллельной оси ОХ, тогда f `(z)=lim_∆x->0(∆U+i∆V) / ∆x = lim_∆x->0(∆U/∆x + i∆V/∆y) = lim_∆x->0∆U/∆x + lim_∆x->0i∆V/∆y = ∂U/∂x+ +i∂V/∂х (3)…

Если же т. Z+∆Z приближается к т.. Z по прямой, параллельной оси ОУ, тогда. ∆Z = ∆У, ∆Х=0.

f `(z)=lim_∆y->0(∆U+i∆V)/ i∆у = lim_∆y->0(∆V/∆y + ∆U/i∆y) = lim_∆y->0∆V/∆y – i lim_∆y->0i∆U/∆y = ∂V/∂y - i∂U/∂y (4).

∆U/∆x = ∆V/∆y   ∆V/∆x = - ∆U/∆y

Так как пределы (3) и (4) должны быть равны, то

∂U/∂x+ +i∂V/∂х = ∂V/∂y - i∂U/∂y =>

Дата добавления: 2014-01-11