Л.18 Дифференцирование ФКП. Аналитическая ф-ия

18.1. Производная и дифференциал ФКП: основные понятия.

Определение производной ФКП не отличается от аналогичного определения производной ф-ии действительного переменного.

Рассмотрим однозначную ф-ию w=f(z). Пусть z=x+iy – некоторая точка, z є D(f). Выполним следующие действия:

А) дадим Х и У приращения ∆Х и ∆У, тогда и переменная Z получит приращение ∆Z=∆Х +i∆У;

Б) найдем соответствующие приращения ф-ии w=f(z): ∆W=f(Z+∆Z) – f(Z);

В) составим ∆W / ∆Z;

Опр_1. Если существует конечный предел отношения приращения ∆W ф-ии к приращению ∆Z при условии что ∆Z -> 0 произвольным образом, то этот предел назыв. Производной ф-ии w=f(z) и обозначается w’.

Таким образом, f `(z)=lim_∆Z->0∆W / ∆Z (1)…

Замечание: в равенстве (1) z -> 0 произвольным образом, т.е. точка ∆Z+Z приближается к Z по любому из бесконечного множества направлений.

Опр_2. Если ф-ия w=f(z) имеет в т. Z производную, то она называется дифференцируемой в этой точке, а выражение f `(z) ∆Z назыв. Дифференциалом ф-ии w=f(z).

Основные свойства производной ФКП:

1)

(kf)` = k(f)`; (f±g)`= f `± g`; (f g)` = f `g + f g`; f(z) ` f `(z) g(z) – f(z)g`(z) g(z) g²(z)

f(z)=const => f `(z)=0

2)

=

f `(z) и g `(z) =>

3) w=f(g(z)) => w ` = (f(g(z)) ` = f `<sub>g</sub> g`_z;

4) w=f(z): z=f ^-1 (w) => 1 / f `(w), f `(w)≠0.

Дата добавления: 2014-01-11