Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие расширенной комплексной z-пл

При выполнение деления чисел z1 и z2 предполагалось что z2≠0, т.к в противном случае если z2=0, то деление невозможно.

Для устранения этого договоримся что на множестве к/ч, частное 1/0 существует и представляет собой число, которое обозначают символом «∞».

Опр 7. Число z=∞ равное 1/0 называется несобственным (бесконечным к/ч). Множество к/ч С дополненное числом z =∞ называется расширенным множеством к/ч.

Комплексное пл. z, дополненная точкой z=∞ называется расширенной комплексной плоскостью. А сама т. z=∞ называется ее бесконечно удаленной точкой. Для числа z=∞ не сущ. понятия действительной и мнимой части, а также аргумента. Модуль этого числа |z|=±∞.

 


Л.16 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Функция комплексного переменного (ФКП) и её приделы.

16.1. Последовательность комплексных чисел определение, критерий существования.

Пусть {an}, {bn} – последовательность действительных чисел. Каждой упорядоченной паре: (an, bn) поставим в соответствие комплексное число zn = an+ bni.

Опр1. Множество комплексных чисел {zn} (n € N), таких что Rezn = an, Imzn= bn, расположэных в порядке возростания их номеров, называется последовательностю комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел щитается заданной, если извесна формула его общего члена, при этом an и bn – действительные функции натурального аргумента n.

Опр2. Число с € С – называется приделом последовательности комплексных чисел, если для любого έ >0 существует такой номер n0 € N, зависящий от έ, что при всех n>=n 0 выполняется неравенство:

|zn-c|< έ.

Опр3. Круг на комплексной плоскости z, с центром в точке с и радиусом έ, называется έ-окресностю точки с, и обозначается Uέ(c).

Uέ(c)↔{z €С| |z-c |<έ}.

С геометрической точки зрения Опред2 можно интерпретировать следующим образом: если число с является приделом последовательности комплексных чисел, то для любой έ-окресности точки с, существует такой номер n 0€ N, начиная с которого все члены последовательности {zn} попадут в έ-последовательность точки с.

Опр4. Если {zn} имеет конечный придел, то она называется сходящейся, в противном случае{zn} называется расходящейся, и её приделом является бесконечно удалённая точка z=∞.

Теорема 16.1 (Критерий сходимости).

Для того, что бы последовательность комплексных чисел была сходящейся, необходимо, чтобы отюельно сходилась последовательность {an} и {bn}.

(lim zn =lim (an + bni)=c= ac bci↔ lim an = ac∩ lim bn=bc).

n->∞ n->∞ n->∞ n->∞

Сформулированная теорема позволяет распостранить теорию приделов последовательностей действительных чисел, на последовательность комплексных чисел.

16.2 Арифметические свойства приделов комплексных чисел.

Пусть {zn} и {z’n} – сходящиеся комплексные числа

1. lim zn (k1z1± k2z2)= k1 lim zn± k2lim z2, где (k1,k2 --const)

n->∞ n->∞ n->∞

2.lim (z1 z2 )= lim z1 * lim z2

n->∞ n->∞ n->∞

3. lim z1/z2 = lim z1 / lim z2

n->∞ n->∞ n->∞

 

Пример: Найти придел последовательности комплексных чисел:

zn =1/3n+I (2n+5)/(6n+1)

an=1/3n ; bn=(2n+5)/(6n+1)

lim an= lim 1/3n=0;

n->∞ n->∞

lim bn= lim(2n+5)/(6n+1)= 1/3

n->∞ n->∞

Ответ: lim zn=0+1/3i=1/3i

16.3 Функция комплексного переменного: определение, непрерывность.

Пусть x и y – некоторые действительные переменные, тогда выражение z=x+iy называется комплексной переменной.

Обозначим Дz – множыство всех значений, которая может принимать комплексная переменная z.

Оперед5. Если каждому значению z€Дz по определённому правилу или закону f ставится в соответствие w=f(z) € С, то говорят, что на множестве Дz задана однозначная функция комплексного переменного w=f(z). если каждому z соответствует несколько функций w=f(z) – она называется многозначная функция комплексного переменного.

Опред 6. Множество Дz называется областю определения (существования) ФКП w=f(z), а множесво Дw – всех значений которые принимает f(z), на множестве Дz, называется областю значений существования функции w=f(z).

Всякую ФКП можно записать w=f(z)=f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y), где U=U(x,y) – называется действительной частью ФКП, а V – мнимой частю.

U(x,y)=Rew

V(x,y)=Imw

Вывод: задание ФКП как однозначной так и многозначной, равносильно заданию двух действительных функций U и V, двух действительных переменных.

Пример:

Найти Rew, Imw функции w=z2

w=z2=(x+iy) 2= x2+2ixy+i2y2= x2+2ixy-y2= x2-y2+2ixy

Rew= x2-y2

Imw=2xy

Опр.7 Функция w=f(z), для любого z€Дz, называется непрерывной в точке z=z0, если придел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.


 

Л.17 Основные элементарные ф.-ции комплексного переменного (ФКП)

17.1. Однозначные элементарные ФКП.

К основным однозначным ФКП ω=f(Z) относятся:

-степенная ω=Zn (nєN);

-показательная ez;

-тригонометрическая sin Z,cos Z,tg Z, ctg Z и гиперболические ф.-ции sh Z, ch Z, th Z, ctg Z.

 

17.1.1. Степенная ф.-ция: ω=Zn.

 

Если nєN, то ω=Zn, наз. ФКП определяемой формулой Znn (cos nφ+isin nφ) – (1)

17.1.2. Показательная ф.-ция: ω=ez

Показательной наз.- ФКП определенная формулой ω=ez =ex+iy=ex(cosy+isiny) - (2)

Если Imz=y=o, т.е. Z=x+i0=x –действительно, то Ez – показательная ф.-ция действ. переменного ex.

ω= ez(Zє C )св.-ва:

1) ez1ez2=ex1 iy1 ex2 y2 = | (Z)…| =ex1(cos y1+isiny1)* ex2(cosy2+isiny2)=ex1+x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2)=e(x1+x2)+i(y1+y2)=ez1+z2

2) (ez)n=ezn, (nєZ)]

3) |ez|=|ex(cosy+isiny)|=√(excosy)2+(exsiny)2=ex√cos2y+sin2y=ex≠0

4) ez1:ez2=ez1-z2

5) ez+2πi=ez*e2πi=ez(cos2π+isin2π)=ez

Вывод: ф.-ция ω=ez периодична с периодом 2πi

 

17.1.3. Тригонометрические ф.-ции.

Связь между показательной и тригонометрическими ф.-циями устанавливает ф.-ла Эйлера.

Eiz=cosz+isinz - (3)

Подставим вместо Z(-Z): e-iz=cos(-Z)+isin(-Z)=cosZ-isinZ - (4)

| (3) + (4) ……|= cosZ=eiz+e-iz/Z - (5)

| (3) - (4) …… |= sinZ=eiz-e-iz/2i - (6)

tg Z=sinZ/cosZ Z≠π/2 +2πk - (7)

ctgZ =cosZ/sinZ Z≠πk, kєZ - (8)

Замечание: ф.-ции sinZ и cosZ в комплексной плоскости Z не ограничены:

Lim sinZ=∞

z->±∞

Lim cosZ=∞

z->±∞

17.1.4. Гиперболические ф.-ции (shZ, chZ, thZ, cthZ)

Гиперболическими наз. ФКП определяемые ф.-ами:

shZ=ez-e-z/Z -(10)

chZ=eZ+e-Z/Z - (11)

tgZ= shZ/chZ -(12)

ctgZ=chZ/shZ -(13)

Заменяя в ф.-лах (9)-(13) Z на iZ получаем ф.-лы, связывающие гиперболические и тригонометрические ф.-лы:

 

sh iZ =i sinZ

sh Z=-I sinZ

ch iZ =cosZ

chZ= coz iZ (14)

th iZ=shZ/chi Z=i tgZ

thZ =-i tg iZ

cth iZ=chZ/shi Z=-i ctgZ

cthZ=i ctg iZ

 

Пользуясь ф.-ами (14) можно получить ряд ф.-ул., связывающих тригонометрические ф.-лы:

 

1) cos2z+sin2z=ch iZ+shi Z/i=ch iZ-sh iZ=1

2) ch2Z=ch2Z+sh2Z

3) sh2z=2shZ *chZ

4) sh(-Z)=-shZ

5) ch(-Z)=chZ

shZ и сhZ периодические с периодом 2πi.

17.2. Многозначные ФКП.

Многозначные ФКП как правило явл. обратными к рассмотренным однозначным ФКП или явл. их обобщениями.

17.2.1. Логарифмическая ф.-ция

Логарифмическая ф.-ция ω=LnZ, где Z≠0, определяется как ф.-ция обратная показательной.

По определению логарифмом числа “Z” наз. Такое число “ω”, что eω =Z.

Как было показано в п. 17.1.2., показательная ф.-ция еω=Z≠0, следовательно ω=LnZ определена на всей Z- плоскости за исключением точки Z=0.

Найдем выражение для ω:

eω= Z=> ω=U+iU => U=lnρ=ln |Z| => ω=ln|Z|+i ArgZ

Z=ρ e V=argZ

 

=ln|Z|+i (argZ+2πk)

 

ω=LnZ=ln|Z|+i(argZ+2πk) - (16)

Логарифмическая ф.-ция φ=LnZ обладает следующими св.-вами:

1) Ln (Z1+Z2)=LnZ1+Lnz2

2) Ln(Z1-Z2)=LnZ1-LnZ2

3) Ln (Zn)=n LnZ

4) Ln()=1/n LnZ

17.2.2. По определению arcsin числа Z наз. число ω,

такое что sin ω=z и обозначается Arcsin Z

ω=Arcsin Z

Z=sin ω=>Z=eiω-e-/2i=>2iz=eiω-1/e=>e2-2ize-1=0

Пусть e=t≠0

T2-2iZt-1=0

D=(-2iZ)2-4*1*(-1)=-4Z2+4

t1,2=2iZ+=iz+

eiw=iZ+;

iω=Ln(iZ+);

ω=1/nLn (iZ+);

Arcsin Z=-iLn(iZ+);

Arccos Z=-i Ln (Z+);

Arctg Z=- i/2 Ln i-Z/Z+1

 

Замечание: т.к. обратные тригонометрические формулы выражаются через Ln Z,то они явл. многозначными.

 

17.2.3. Обобщенная степенная показательная ф.-ция

Ф.-ция ω=Z0, где a=α+iβ- некоторое комплексное число, определяемое ф.-лой ω=ealnZ(где Z≠0)-наз. Обобщенной степенной ф.-цией, а ω=ealnZ-её главное значение.

Ф.-ция ω=az,где Zє C, определяемая ф.-лой:

ω=Za, где a=α+iß

ω=eaLnZ (Z≠0) -обобщенная степенная ф.-ция

а ф.-ция ω=eaLnz- наз. главным значением ф.-ции.

 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Потенциальное (безвихревое) ВП и его свойства | Л.18 Дифференцирование ФКП. Аналитическая ф-ия
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 589; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.063 сек.