Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или
экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятно-
сти имеет вид

(2.35)

где > 0 параметр распределения.

График плотности f(х) приведен на рис. 32.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

(2.36)

График F(x) представлен на рис. 33.

Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного
распределения:

=[интегрируем по частям] =

=

=[дважды интегрируем по частям]=

=

=

Таким образом,

, (2.37)

Найдем вероятность попадания случайной величины X, распределен-
ной по показательному закону, в интервал (а,b). Используя форму-
лу (2.2) и формулу (2.36), получаем

Пример 2.12. Случайная величина Т – время работы радиолампы
имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лам-
па проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радио
лампы 400 часов.

О МТ = 400, значит (формула (2.37)),Искомая вероятность

Показательное распределение используется в приложениях теории
вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в фи-
зике, в теории надежности. Оно используется для описания распреде-
ления случайной величины вида: длительность работы прибора до пер-
вого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового
обслуживания и т.д.

Рассмотрим, например, н. с. в. Т — длительность безотказной ра-
боты прибора. Функция распределения с. в. Т, т. е.,
определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит,
вероятность безотказной работы за время t равна. Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение.
Ее функция распределения имеет вид (формула (2.36)).
В этом случае функция надежности имеет видт.е. ,где— интенсивность отказов, т. е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон — единственный из законов распределения,
который обладает свойством «отсутствия последствия» (т. е. если про-
межуток времени Т уже длился некоторое время , то показатель-
ный закон распределения остается таким же и для оставшейся части
промежутка).

Дата добавления: 2014-01-11