КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Координаты центра окружности можно вычислить, решив, например, линейную засечку с пунктов A и B на точку C
Рисунок 27 – Третье элементарное измерение Если подставить в уравнение (3.1) значения XC, YC и R, то получится сложное уравнение второй степени относительно неизвестных X и Y. Из одного уравнения два неизвестных найти невозможно, следовательно, измерения одного угла β на определяемой точке недостаточно для определения двух координат этой точки. Для однозначного определения двух координат точки P нужно выполнить измерение двух элементов. Количество комбинаций из трёх по два равно шести; комбинации двух элементарных измерений для определения координат одной точки называются геодезическими засечками. 1. Измеряются один угол и одно расстояние; оба измерения выполняются на пункте A, – полярная засечка; 2. Измеряются два угла; один угол измеряется на пункте A, другой - на пункте B, - прямая угловая засечка; 3. Измеряются два расстояния; одно расстояние - от пункта A до пункта P, другое – от пункта B до пункта P, - линейная засечка; 4. Измеряются два угла; оба измерения выполняются на точке P; один угол − между направлениями на исходные пункты A и B, другой – между направлениями на исходные пункты B и D, - обратная угловая засечка. Пятая и шестая комбинации названий не имеют и для определения координат точки P не применяются. 4.2.3. Полярная засечка В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол β (средняя квадратическая ошибка измерения угла mβ) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS / S = 1/ T), неизвестные элементы – координаты X, Y точки P (рис. 28). Исходные данные: X A, Y A, α AB.
Измеряемые элементы: β, S. Неизвестные элементы: X, Y.
Рисунок 28 – Схема полярной засечки Вычислим дирекционный угол направления АP и запишем два уравнения, соответствующие двум элементарным измерениям: уравнение прямой линии, проходящей через точку А в заданном направлении АP, и уравнение окружности радиусом с центром в точке А. Алгоритм решения полярной засечки в кратком виде: - вычислить дирекционный угол линии AP ; - вычислить приращения координат: ; ; - вычислить координаты точки P: ; ; - вычислить ошибку положения точки P: ; ρ =206265”. Пример решения полярной засечки приведён в таблице 4.
Таблица 4 - Решение полярной засечки
4.2.4. Прямая и обратная геодезические задачи В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости. Прямая геодезическая задача - это вычисление координат , второго пункта, если известны координаты , первого пункта, дирекционный угол и длина линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул для решения полярной засечки , . Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла и длины линии, соединяющей два пункта с известными координатами и (рис.29).
Рисунок 29 – Схема обратной геодезической задачи
Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна ; катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ), а один из острых углов равен румбу линии 1-2.
Если и , то треугольник решается по известным формулам ; и . Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому . Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции: - определение номера четверти по знакам приращений координат ; - вычисление дирекционного угла по формулам связи дирекционного угла и румба в соответствии с номером четверти. Контролем правильности вычислений является выполнение равенства . Если , то , при ; при . Если , то , при ; при .
Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль при : , , если , то ; если , то .
Таблица 5 – Решение обратной геодезической задачи (1-й алгоритм)
Таблица 6 – Решение обратной геодезической задачи (2-й алгоритм)
4.2.5. Прямая угловая засечка
Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы и измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.30). Исходные данные: ; Измеряемые элементы: ; Неизвестные элементы: точки . Если или не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D. Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Рисунок 30 – Общий случай прямой угловой засечки Рисунок 31 – Частный случай ПУЗ
Аналитическое решение. Приведем алгоритм, соответствующий общему случаю засечки: 1) вычислить дирекционные углы линий AP () и BP () ; ; 2) написать два уравнения прямых линий для линии АР , для линии ВР ; 3) решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты , . Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы и измерены от направлений AB и B A, причем угол - правый, а угол - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.31. Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения прямой угловой засечки методом треугольника: 1) решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол и длину линии AB, 2) вычислить угол при вершине P ; 3) используя теорему синусов для треугольника APB , вычислить длины сторон AP ()и BP (); 4) вычислить дирекционные углы и , ; 5) решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P; оба решения должны совпасть. Для вычисления координат в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга ,
.
От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол линии A B и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B и . Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия: 1) вычисление дирекционных углов и ,
; ; ; ; ; .
Рисунок 32 – Прямая угловая засечка в системе координат
3) запись уравнений линий AP и BP в системе , ; и совместное решение этих уравнений , ; (3.2) 4) перевод координат и из системы в систему , . Так как и угол засечки всегда больше , то решение (3.2) всегда существует. 4.2.6. Линейная засечка В линейной засечке исходными данными являются координаты пунктов А и В; измеряемыми данными являются расстояния и (относительная ошибка измерения расстояний ); определяемые данные – координаты точки P.
Рисунок 33 – Линейная засечка
Графическое решение. Сначала на чертеже (плане) нужно построить систему координат и нанести точки Α и Β по их известным координатам; затем нужно провести две окружности с центрами в точках Α и Β, первую окружность – радиусом и вторую – радиусом ; одна из точек пересечения этих окружностей и является искомой точкой Р; другая точка P’ является является вторым (альтернативным) вариантом решением засечки (рис.33) Аналитическое решение линейной засечки может быть выполнено по двум алгоритмам: первый из них предусматривает решение системы уравнений двух измеренных расстояний , . У этой системы уравнений нет простого решения в системе координат , поэтому приходится применять систему координат с началом в точке А и осью , направленной от точки А вдоль линии АВ. В новой системе координаты точек А и В будут равны Расстояние , равное длине линии АВ, находится из решения обратной геодезической задачи между точками А и В; при этом вычисляется также дирекционный угол линии АВ. Уравнения двух окружностей в новой системе координат будут иметь вид ; . Совместное решение этих двух уравнений предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого , откуда , и . Если искомая точка находится слева от линии АВ, то в формуле для нужно брать знак “минус”, если справа, то – знак “плюс”. Пересчёт координат точки из системы в систему выполняется по формулам , . Описанный алгоритм удобен для составления программы при решении линейной засечке на ЭВМ. Алгоритм “ручного счёта” предусматривает решение треугольника АВР по формулам планиметрии: - в треугольнике ABР по теореме косинусов вычислить углы β1 и β2 , ; - вычислить угол γ этого же треугольника ; - вычислить дирекционные углы сторон AР и BР: точка Р справа от линии AB , ; точка Р слева от линии AB , ; дирекционный угол αAB следует взять равным углу α из решения обратной геодезической задачи между точками A и B; ; - решить прямые геодезические задачи: из пункта A на точку P , , и из пункта B на точку P , ; расхождение координат и по двум решениям не должно превышать 0,02 м; - вычислить ошибку положения точки P по формуле . Пример решения линейной засечки приведён в таблице 7. Напоминание: При выполнении операций 19 и 20 искомый угол (β1 или β2) следует перевести из десятичной формы в полную форму, округлить до целых секунд и затем уже записать в таблицу вычислений. Перед выполнением операций 23 и 24 нужно перевести в десятичную форму угол ; перед выполнением операций 25 и 26 нужно перевести в десятичную форму угол . Таблица 7 - Решение линейной засечки
4.2.7. Обратная угловая засечка
К элементарным измерениям относится и измерение угла на определяемой точке между направлениями на два пункта и с известными координатами и . Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно. Проведем окружность через три точки . Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен (рис.34).
Рисунок 34 - К вычислению R и координат Ц Рисунок 35 – Обратная угловая засечка
Расстояние между пунктами и считается известным, и из прямоугольного треугольника можно найти радиус окружности . (3.3) Уравнение окружности имеет вид , (3.4) где - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов и на точку . В уравнении (3.4) - координаты любой точки окружности, в том числе и точки , но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно. Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки по двум углам и , измеренным на определяемой точке между направлениями на три пункта с известными координатами (рис.35). Исходные данные: ; Измеряемые элементы: ; Неизвестные элементы: координаты точки - . Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы и с общей вершиной ; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты на чертеже; переколоть точку с кальки на чертеж. Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на две прямые угловые засечки и одну линейную, или на три линейных засечки и т.д. Известно более десяти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек. Предположим, что положение точки известно, и проведем две окружности: одну радиусом через точки и другую - радиусом через точки (рис.35). Радиусы этих окружностей получим по формуле (3.3) ; . Если координаты центров окружностей (точек и ) будут известны, то координаты точки можно определить по формулам линейной засечки: из точки по расстоянию и из точки - по расстоянию . Координаты центра можно найти по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла ; если , то точка находится справа от линии ; если , то точка находится слева от линии . Координаты центранаходятся по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если , то точка находится справа от линии , если , то точка находится слева от линии . Задача не имеет решения, если все четыре точки и находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точку их пересечения указать невозможно. 4.2.8. Комбинированные засечки
В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата, однако, при этом нет контроля правильности измерений. На практике для нахождения координат и одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений; понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи. Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными. При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют по способу уравнивания. В настоящее время алгоритмы строгого уравнивания измерений в различных геодезических построениях реализованы в машинных программах на ЭВМ; для ручного счета обычно применяют нестрогие (упрощенные) способы уравнивания. Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно ), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.
4.2.9. Ошибка положения точки в однократных засечках
Положение точки на плоскости по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния линией положения является окружность радиуса с центром в исходном пункте (рис.36-а); для измеренного угла с вершиной в исходном пункте - прямая линия, проведенная под углом к исходной линии (рис.36-б).
Рисунок 36 - Линия положения и "полоса положения" точки : а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.
Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния , измеренного со средней квадратической ошибкой - это круговой пояс (кольцо) шириной между двумя окружностями радиусами и ; для угла , измеренного с ошибкой - это узкий треугольник с вершиной в точке и углом при вершине . Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.37). Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через . Для измеренного расстояния вектор направлен вдоль линии (прямо или обратно) и имеет модуль ; для измеренного угла вектор направлен перпендикулярно линии (влево или вправо от нее) и имеет модуль , где . Точка , находясь на пересечении двух линий положения, является центром четырёхугольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.37). Этот элементарный четырёхугольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки до границ четырёхугольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки по разным направлениям.
Рисунок 37 - Четырёхугольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке.
Линии положения делят четырёхугольник положения на 4 равные части (рис.38), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах и , где - - угол между векторами ошибок и .
Рисунок 38 – Параллелограммы ошибок
Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов и , то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.38) ; . (3.5) Наибольшее уклонение от точки имеют две противоположные вершины параллелограмма положения; две другие вершины имеют наименьшее уклонение. В любом геодезическом построении существует так называемое "наиболее слабое место"; в этом месте ошибка какого-либо элемента имеет наибольшее значение. Как правило, для обобщенной характеристики точности данного построения берется значение ошибки именно в этом наиболее слабом месте. В соответствии с этим принципом за ошибку положения точки можно принять длину большой диагонали параллелограмма ошибок или с учетом (3.5) . Ошибка положения точки - это скалярная величина, показывающая среднее квадратическое отклонение по разным направлениям вычисленного положения точки от ее истинного положения Из этой формулы легко получаются известные формулы для оценки точности любой однократной засечки: - полярная засечка: ; ; ; ; - прямая угловая засечка: ; ; ; - линейная засечка: ; ; . - обратная угловая засечка: В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки должна содержать три слагаемых: - за ошибку линейной засечки точки с исходных пунктов и , - за ошибку линейной засечки точки с исходных пунктов и , - за ошибку линейной засечки точки с точек и . Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки находится внутри круга радиуса с центром в точке . В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. При количестве измерений (многократные засечки) точка получается в пересечении линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют -угольник. Ошибка положения точки будет определяться расстоянием от точки до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. 5. Определение координат нескольких точек
В задаче Ганзена находят координаты двух точек P и Q по известным координатам двух пунктов A и B и четырем углам, измеренным на определяемых точках (рис. 15), т.е. задача Ганзена является сдвоенной обратной угловой засечкой. Исходные данные: XA, YA, XB, YB. Измеренные элементы: β 1, β 2, β 3, β 4. Неизвестные элементы: XP, YP, XQ, YQ. Аналитическое решение. Известно несколько способов решения задачи Ганзена; приведем краткое изложение одного из них. 1. Решить обратную задачу между пунктами A и B, т.е., вычислить длину b отрезка AB и дирекционный угол αAB направления AB.
Рис. 15. Схема задачи Ганзена
2. Ввести условную единицу длины, равную длине l отрезка PQ; l = 1.000. 3. Вычислить отрезки S' 1 = AP, S' 3 = AQ, S' 2 = BP, S' 4 = BQ в условных единицах с использованием теоремы синусов сначала для треугольника PAQ, затем для треугольника PBQ:
4. Вычислить в условных единицах длину b' отрезка AB из треугольника QAB по теореме косинусов:
и для контроля - из треугольника PAB:
5. Вычислить масштабный коэффициент k: k = b / b' и перевести все вычисленные расстояния в реальные единицы длины
6. Вычислить угол φ из треугольника QAB по теореме косинусов 7. Вычислить угол ψ из треугольника PAB по теореме косинусов:
8. Вычислить дирекционный угол направления AQ:
и решить прямую геодезическую задачу с пункта A на точку Q:
9. Вычислить дирекционный угол направления BP αBP = αBA - φ и решить прямую геодезическую задачу с пункта B на точку P:
Расположение исходных пунктов и определяемых точек может быть таким, что отрезки PQ и AB будут пересекаться (рис. 16). Ход решения задачи остается таким же, только изменятся обозначения углов и сторон. Кроме того, доказано, что в этом варианте положение точек P и Q определяется в несколько раз точнее, чем в общем варианте.
Рис. 16. Вариант задачи Ганзена
5.2. Определение прямоугольных координат пунктов линейно-угловых ходов 5.2.1. Классификация линейно-угловых ходов
Определение линейно-углового хода можно дать как с позиций геометрии (линейно-угловой ход – это ломаная линия, в которой измеряют длины сторон и углы между ними), так и с позиций метода определения координат пунктов хода (линейно-угловой ход – это последовательность полярных засечек); оба определения являются верными и дополняют одно другое. Классификацию линейно-угловых ходов можно провести по двум параметрам – по геометрическим характеристикам хода и по точности выполняемых в ходе измерений.
Рисунок 39 – Некоторые стандартные формы линейно-угловых ходов
В зависимости от точности измерений углов и расстояний линейно-угловые ходы делятся на две группы – теодолитные ходы и полигонометрические ходы. Теодолитные ходы бывают 1-го, 2-го и 3-го разрядов (таблица 8). Таблица 8
Полигонометрические ходы в сетях сгущения бывают 4-го класса, 1-го и 2-го разрядов (таблица 9). Таблица 9 - Основные характеристики полигонометрических сетей сгущения
В государственных геодезических сетях полигонометрические ходы бывают 1-го, 2-го, 3-го и 4-го классов точности; однако, в соответствии с рекомендациями новой инструкции о построении государственных геодезических сетей 2001 года издания основным способом создания государственных сетей становятся спутниковые измерения, а полигонометрические ходы классной точности будут применяться только в геодезических построениях специального назначения. Проектирование полигонометрии. Все работы по созданию геодезических сетей методом полигонометрии выполняются по проектам, составляемым в специализированных отделах геодезических предприятий на основе всех официально утверждённых инструкций, руководств и постановлений. Для проверки на местности проекта, составленного на топографической карте, выполняют рекогносцировку, которая производится, как правило, в два этапа. На первом этапе устанавливают наличие изменений, произошедших на местности с момента создания топографической карты, и, если таковые произошли, то выясняют их влияние на параметры запроектированных работ; в случае необходимости вносят коррективы в проект. Проверяется взаимная видимость между соседними пунктами полигонометрических ходов, особенно по сомнительным направлениям и на узловых точках систем ходов. Проверяют наличие растительности по направлениям ходов, отыскивают обходы препятствий и т.п. Каждый ход полигонометрии должен быть отрекогносцирован так, чтобы визирный луч при измерениях проходил не ближе 0,5 м от препятствий. Трасса намеченного хода должна быть удобной для угловых и линейных измерений, особенно при параллактическом методе измерения расстояний или с помощью длиномера и инварных проволок. В условиях города следует учитывать интенсивность движения транспорта, а в необжитых районах – наличие подъезда к пунктам. Второй этап рекогносцировки – это перенос проекта в натуру с выбором наиболее удобного места для каждого запроектированного пункта. Здесь следует руководствоваться определёнными правилами. Во первых, пункты полигонометрии должны располагаться примерно на равных расстояниях один от другого; место закладки пункта выбирают так, чтобы обеспечить их долговременную сохранность (нельзя ставить пункты на проезжей части дорог, на затопляемых или сырых участках местности, на свеженасыпанных грунт
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1310; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |