Точки и линии разрыва

Непрерывность функций нескольких переменных.

Полным приращением функции нескольких переменных в точке называется разность значений функции и , т. е.

.

Если функция зависит от двух переменных , то

.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малым приращениям независимых переменных соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

.

Пример 3.4. Показать, что функция является непрерывной в любой точке плоскости Oxy.

Находим

.

Преобразуем предел .

.

Следовательно,

или

,

т. е. предел функции равен функции от предела независимой переменной.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и

.

Можно записать с помощью кванторов на языке «e-d».

.

Функции нескольких переменных, как и функции одной переменной, могут иметь точки разрыва. Точка называется точкой разрыва функции нескольких переменных, если функция не является непрерывной в этой точке.

Например, функция имеет точку разрыва O (0, 0).

Функции нескольких переменных могут иметь линии разрыва. Например, имеет две линии разрыва в виде пересекающихся прямых ; а функция имеет линию разрыва в виде параболы .

Дата добавления: 2014-01-11