Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от тригонометрических функций сводится к интегралам от рациональных функций с помощью специальных подстановок.

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

позволяет любой интеграл вида , где R – рациональная функция, привести к интегралу от рациональной функции.

Найдем , , , .

Пример 4.32. .

Для интегралов от тригонометрических функций частных видов более удобными могут быть другие подстановки.

2. Если интеграл имеет вид , то применяется подстановка . Тогда ÞÞи интеграл примет вид .

3. Если интеграл имеет вид , то применяется подстановка . Тогда Þи интеграл примет вид .

Пример 4.33.

.

4. Если интеграл , то целесообразно применить подстановку . Тогда , . В результате подстановки интеграл примет вид .

Пример 4.34. = .

5. Если , где , то лучше применить подстановку . Тогда ,

, , .

Пример 4.35. .

6. Если интеграл имеет вид , где , то применяют подстановки следующих видов:

если степень синуса n нечетная, то ;

если степень косинуса m нечетная, то ;

если m и n четные, то применяют формулы понижения степени

.

Пример 4.36. .

7. Если интеграл имеет вид , , , то применяют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

,

,

.

Пример 4.37. .

Дата добавления: 2014-01-11