Общее условие устойчивости

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СХЕМ

Реакция неавтономной физической системы в общем случае содержит вынужденные составляющие, определяемые внешним воздействием (сигналом цепи), и свободные составляющие, определяемые только свойствами собственно системы (т. е. топологией и параметрами цепи).

Устойчивыми (асимптотически) называются системы (цепи), в которых свободные составляющие реакции (токи и напряжения) после снятия внешнего воздействия с течением времени уменьшаются до нуля (затухают).

Неустойчивыми называют системы (цепи), в которых свободные составляющие реакции по окончании действия внешнего возмущения продолжают возрастать. В реальных цепях неустойчивость вызывает самовозбуждение, т. е. генерацию нежелательных колебаний.

Анализ и расчет схем на устойчивость занимают в теории и практике применения электронных цепей очень важное место. Одна из глобальных целей расчета схем − обеспечить устойчивую работу соответствующих цепей в реальных условиях эксплуатации. Невыполнение указанной цели характеризует некачественность проведенных расчетов.

Импульсная характеристика схемы, являющаяся реакцией схемы на единичный импульс воздействия, представляет собой свободную составляющую реакцию схемы в чистом виде. По виду импульсной характеристики, следовательно, можно согласно определению устойчивости судить о качестве анализируемой схемы. Так, затухающий характер импульсной характеристики свидетельствует об устойчивости процессов в схеме, незатухающий говорит о неустойчивости схемы. Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций:

.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

Заметим, что:

C ₁ e ^{-(a+ j b) t} + C ₂ e ^{-(a- j b) t} = A e ^{-a t} sin(b t +j),

где: A и j - новые постоянные интегрирования, a - показатель затухания, b - круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, т.е. лежали слева от мнимой оси плоскости корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

· нулевого корня,

· пары чисто мнимых корней,

· бесконечного корня.

Более конкретно можно сказать, что вид импульсной характеристики g(t) определяется полюсами функции F(p), точнее положением этих полюсов на комплексной плоскости. Если полюсы (корни знаменателя F(p)) находятся в левой полуплоскости на карте нулей и полюсов функции, т. е. s < 0, то с течением времени импульсная характеристика стремится к нулю. Это означает, что для устойчивости схемы корни p_i ее характеристического уравнения должны быть вещественными отрицательными или комплексными с отрицательными вещественными частями. В другом случае, когда полюсы расположены в правой полуплоскости (s > 0), экспоненциальные составляющие в выражении g(t) имеют положительную степень и импульсная характеристика с течением времени неограниченно возрастает. Отсюда вытекает широко известное правило: схемы, описываемые функциями с полюсами в правой полуплоскости, являются неустойчивыми. Характер неустойчивого процесса (форма импульсной характеристики) определяется расположением правых полюсов относительно действительной оси. При комплексно-сопряженном правом полюсе соответствующая свободная составляющая реакции является периодической функцией с частотой и амплитудой, экспоненциально возрастающей со скоростью до ограничения ее нелинейностью вольтамперных характеристик компонент схемы, когда соответствующий полюс в силу изменившихся параметров компонентов схемы сдвинется в левую полуплоскость. При вещественном правом полюсе свободная составляющая реакции монотонно (по экспоненте) возрастает до аналогичного ограничения нелинейностью компонент схемы.

Пассивные схемы всегда устойчивы, свободные составляющие их реакции затухают вследствие ничем не компенсируемых тепловых потерь.

Анализ схемы на устойчивость проводят различными способами, основанными на анализе корней знаменателя схемной функции и отличающимися характером критерия, по которому судят о наличии полюсов функции в правой полуплоскости. Среди них алгебраический критерий устойчивости Рауса−Гурвица, позволяющий определять знаки действительной части полюсов, без вычисления самих корней, частотные критерии устойчивости Найквиста, Михайлова и др., позволяющие судить об устойчивости по виду или отдельным признакам частотного годографа.

При расчете схем важно определить параметры ее компонентов таким образом, чтобы их небольшие допустимые вариации, неизбежные в условиях эксплуатации электронной цепи, не выводили ее из устойчивого состояния. Таким образом, приходят к понятию запаса устойчивости схемы, который определяется минимальным расстоянием полюсов до мнимой оси, допустимым при заданной их нестабильности, определяемой, в свою очередь, допустимой нестабильностью параметров компонентов схемы.

Дата добавления: 2014-01-11