Линейные многообразия

Пусть L – подпространство V, x ₀Î V.

Множество M = { x | x = x ₀ + y, y Î L } называется линейным многообразием в V.

О линейном многообразии M говорят, что оно параллельно подпространству L и обозначают M = x ₀ + L.

Если x ₀Î L, то M º L и M является подпространством. Если x ₀Î V, но x ₀Ï L то линейное многообразие подпространством не является.

29°. Линейное многообразие порождается сдвигом единственного L.

◀ Пусть M = x ₀ + L и M = x¢ ₀ + L¢. Тогда " x Î M

x = x ₀ + y = x¢ ₀ + y¢ Þ y = x¢ ₀ + y¢, где y Î L, y¢ Î L¢. Так как это верно для " y Î L, положим y = q. Получим y¢ = x ₀ – x¢ ₀ и т.к. y¢ Î L¢ Þ x ₀ – x¢ ₀ Î L¢. Тогда Þ y Î L¢. Итак, если y Î L Þ y Î L¢ Þ L Ì L¢, аналогично L Ì L¢, тогда L = L¢. ▶

Размерность линейного многообразия – это размерность соответствующего подпространства L, базис линейного многообразия – это базис соответствующего подпространства. Забавный нюанс – базис линейного многообразия самому многообразию, вообще говоря, не принадлежит.

1-мерное многообразие называется прямой, k -мерное многообразие называется k -мер-ной плоскостью, (n – 1)-мерное многообразие – называется гиперплоскостью (n = dim V).

§19. Действия с подпространствами

Пусть L ₁ и L ₂ – подпространства пространства V.

L = L ₁ + L ₂ Û L º { x | x = x ₁ + x ₂, x ₁Î L ₁, x ₂Î L ₂}

N = L ₁∩ L ₂ Û N º { x | x Î L ₁ Ù x Î L ₂}

= L ₁∩ L ₂ Û º { x | x Î L ₁ Ú x Î L ₂}.

Отметим, что теоретико-множественное объединение подпрост-ранств подпространством, вообще говоря, не является. Рисунок иллюстрирует, что сумма векторов из L ₁ + L ₂ не всегда принадлежит L ₁ + L ₂.

30°. L = L ₁ + L ₂ и N = L ₁∩ L ₂, где L ₁ и L ₂ – подпространства также являются подпростран-

ствами.

◀ В доказательстве элементы подпространств L ₁ и L ₂ будем снабжать соответствующими индексами.

1) L = L ₁ + L ₂: " x, y Î L x + y = (x ₁ + x ₂) + (y ₁ + y ₂ )= (x ₁ + y ₁) +(x ₂ + y ₂);

x Î L: a x = a(x ₁ + x ₂) = a x ₁ +a x ₂; q _L = = q _V; (– х)=(– х)₁+(– х)₂.

2) N = L ₁∩ L ₂ : ; . ▶

31°. Формула Грасмана dim(L ₁ + L ₂) = dim L ₁ + dim L ₂ – dim L ₁∩ L ₂.

◀ Пусть dim L ₁∩ L ₂ = k, dim L ₁ = k + l ₁, dim L ₂ = k + l ₂. Докажем, что dim(L ₁ + L ₂) = k + l ₁ + l ₂.

Пусть базис в L ₁∩ L ₂. Дополним его до базиса L ₁: и до базиса L ₂: . Покажем, что , базис в L ₁ + L ₂. Полнота:

x = x ₁ + x ₂ = = .

Линейная независимость (от противного).

Пусть a₁ e ₁ + … + a _ke_k + b₁ f ₁ + … + + g₁ g ₁ + … + = q;

Из последнего равенства следует, что векторы стоящие в его левой и правой частях принадлежат L ₁∩ L ₂ . Тогда у Î L ₁∩ L ₂ можно записать в виде: y = d₁ e ₁ + … + d _ke_k. Сравнивая y = a₁ e ₁ + … + a _ke_k + b₁ f ₁ + … + с y = d₁ e ₁ +… + d _ke_k, в силу единственности разложения у, заключаем, что a₁ = d₁, a₂ = d₂, …, a _k = d _k; b₁ = b₂ = … = Подставляя b _i = 0 в (*) получаем a₁ e ₁ + … + a _ke_k + g₁ g ₁ + …+ = q и, в силу линейной независимости векторов e ₁, е ₂, …, e_k, g ₁, g ₂,…, получаем: a₁ = a₂ =… = a _k = g₁ =… = = 0. ▶

Дата добавления: 2014-01-11