ЕщЕ действия над матрицами

а) Произведение матриц С_nk = A_nmB_mk определим по правилу: c_ij =(это правило в обиходе называется: умножение строка на столбец).

Пример: , но . Из определения произведения матриц ясно, что матрицы можно умножать не всегда, а только если количество элементов в строке 1^ой матрицы и количество элементов в столбце 2^ой матрицы совпадают. Кроме того, видно, что операция умножения матриц, вообще говоря, не коммутативна.

Можно отметить следующие свойства операции умножения матриц:

а1) А (ВС) = (АВ) С – ассоциативный закон;

а2 ) А (В + С) = АВ + АС – левый и

а3) (А + В) С = АС + ВС правый дистрибутивные законы.

Def: Если в линейном пространстве V над полем К, корректным образом, введена еще одна внутренняя операция, удовлетворяющая свойствам:

a⊙(х ⊗ у) = (a⊙ х)⊗ у = х ⊗(a⊙у);

х ⊗(у ⊗ z) = (х ⊗ у)⊗ z; 3) (х ⊕ у)⊗ z = х ⊗ z ⊕ у ⊗ z,

то линейное пространство над полем К называется алгеброй.

Таким образом, определив операцию умножения матриц, удовлетворяющую свойствам а1), а2), а3) мы можем говорить об алгебре матриц (для квадратных матриц).

б) Транспонирование матриц А^Т Û = а_ji.

Пример: .

Свойства операции транспонирования:

б1) (a А) ^Т = a А^Т;

б2) (А + В) ^Т = А^Т + В^Т;

б3) (А × В) ^Т = А^ТВ^Т.

в) Для матриц с комплексными элементами – операция комплексного сопряжения. .

г) Для матриц с комплексными элементами – операция эрмитового сопряжения. (для операции эрмитового сопряжения, математики чаще употребляют значок А ^*, а физики А ⁺).

Свойства операции эрмитового сопряжения:

г1) ; г2) ; г3) ;

г4) ; г5) .

Примеры: ; ; ; .

Элементы а ₁₁, а ₂₂, …, a_nn – называются диагональными (главными диагональными) элементами матрицы.

Если " i > j a_ij = 0 матрица называется матрицей нижнего треугольного вида, если " i < j a_ij = 0 – матрицей верхнего треугольного вида:

; .

нижний верхний

треугольный треугольный

вид вид

Примечание: Если А ^* = А, то матрица называется эрмитовой (самосопряженной).

В вещественном пространстве матрица А, удовлетворяющая условию: АА^Т = А^ТА = Е называется ортогональной, а комплексном пространстве – унитарной.

РАЗДЕЛ 2. Евклидовы и унитарные пространства

Дата добавления: 2014-01-11