Ортогональное дополнение к подпространству

Вектор h называется перпендикулярным к подпространству L, если " y Î L, (h, y) = 0.

Если базис в L (в подпространстве), то (h, e_i) = 0, " i = 1, 2, …, k.

Множество векторов h Î L перпендикулярных к подпространству L называется ортогональным дополнением к L и обозначается L ^{^}.

7°. L ^{^} является подпространством.

◀ x, y Î L ^{^}, z Î L, то (a x + b y, z) = a(x, z) + b(y, x) = a×0 + b×0 = 0, т.е. линейная комбинация элементов L ^{^} остается в L ^{^}. ▶

8°. V = L ⊕ L ^{^}.

◀ Пусть { e ₁, e ₂, …, e_k } базис в L. Дополним его до ортогонального базиса V. { e ₁, e ₂, …, e_k, f_{k +1}, f_{k +2}, …, f_n }. Без ограничения общности можно считать его ортонормированным: , где y Î L, z Î L ^{^} и это разложение единственно. ▶

9°. L ∩ L ^{^} = q.

◀ x Î L, x Î L ^{^} Þ (x, x) = 0 Þ x = q. ▶

10°. dim L + dim L ^{^} = dim V. Доказать самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-11