Составляющая вектора на подпространство

Ортогональная проекция и ортогональная

Свойства ортогонального дополнения

а) (L ^{^})^{^} = L; б) V ^{^} = Q;

в) Q^{^} = V; г) (L ₁ + L ₂)^{^} = ;

д) (L ₁ ∩ L ₂)^{^} = ; е) L ₁ Ì L ₂ Þ.

Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда " x Î V $ x ₀Î L Ù $ x ^{^}Î L ^{^} (причем единственные), такие что x = x ₀ + x ^{^}, x ₀ – называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство L. x ^{^} – называется ортогональной составляющей вектора х на подпространство L. Расстоянием между двумя множествами M ₁ и M ₂ называется кратчайшее из расстояний между элементами M ₁ и M ₂:

r(M ₁, M ₂) = .

В частности r(x, M) = ; r²(x, y) = | x – y |² = = | x – x ₀|² + | x ₀ – y |² ³ ³ | x – x ₀ |² = | x ^{^} |², где y Î L, т.е. расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором х и подпространством L называется угол jÎ[0, p] такой, что .

Преобразовав , получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.

Рассмотрим – ортогональный базис в подпространстве L:

" x Î V x = x ₀ + x ^{^} = a₁ e ₁ + a₁ e ₁ + … + a _ke_k + x ^{^}.

Умножим скалярно обе части равенства на e_i:

, т.е.

– это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора х на подпространство L.

РАЗДЕЛ 3. МетрическИе и нормированнЫе пространства

Дата добавления: 2014-01-11