КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Связь нормированных и метрических пространств
7°. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя r(х, у) = || х – у ||. В самом деле: ◀ А) r(х, у) = || х – у || = ||(–1)(у – х) || = |–1| || у – х || = || у – х || = |–1| || у – х || = || y – x || = r(y, x); В) r(х, у) = || х – у || ≥0, причем || х – у || = 0 Û x – y = θ Û x = y; С) r(х, у) = || х – у || = ||(x – z) + (z – y)|| ≤ || x – z || + || z – y || = r(х, z) + r(z, у). ▶ Отметим что || х || = r(х, θ). Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами: А) r(х + z, у + z) = r(х, у) – расстояние не меняется при сдвиге; В) r(λ х, λ у)= |λ|r(х, у) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**) 8°. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя || х || = r(х, θ). ◀ А) || х || = r(х, θ) ≥0; || х || = r(х, θ) = 0 Û x = θ; В) ||λ х || = r(λ х, θ) = r(λ х, λθ) = |λ|r(х, θ) = |λ| || х ||; С) || х – у || = r(х + y, θ) = r(х + y – y, θ – y) = r(х,– y) ≤ r(х, θ) + r(θ,– y) = = r(х, θ) + |–1|r(y, θ) = || х || + || у ||. ▶ 9°. Линейное пространство со скалярным произведением является нормированным (|| х || = ) и метрическим (r(х + y) = || х – у ||) пространством. ◀ ▶
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 312; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |