Линейный функционал

Полнота нормированных пространств

Конечномерные нормированные пространства являются пространствами, в которых имеют место многие аналоги утверждений, связанных с понятиями предела в числовых множествах.

13°. Из всякой бесконечной ограниченной последовательности векторов конечномерного пространства можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в этом пространстве.

14°. Любое конечномерное нормированное пространство – полное.

15°. Любое конечномерное подпространство Х ₀ нормированного пространства Х, является замкнутым множеством.

РАЗДЕЛ 4. Теория определителей.

Пусть V_n – n -мерное линейное пространство. Если для любого х Î V_n существует число j(х)ÎК, где К некоторое числовое поле, то говорят, что на пространстве V_n задан функционал φ со значениями в поле К.

Функционал j(х) называется линейным функционалом, если

а) " х, у Î V_n j(х + у) = j(х) + j(у) (аддитивность);

б) " х Î V_n "aÎК j(a х) = aj(х) (однородность).

Пусть базис в V_n. Тогда " х Î V_n: х =Þ j(х) = j = . Таким образом, чтобы задать линейный функционал в линейном пространстве, достаточно задать величины u_i = j(e_i), т.е. каждому линейному функционалу можно поставить в соответствие вектор u = (u _1, u _{2, …,} u_n) такой, что j(х) = (x, u) = . Действие функционала j на вектор х можно трактовать и как умножение матриц j(х) = (u _1, u _{2, …,} u_n)(ξ_1, ξ_{2, …,} ξ_n) ^Т.

Запись линейного функционала в некотором базисе в виде j(х) = называется линейной формой. Таким образом, линейная форма это запись линейного функционала в некотором базисе.

§2. Пространство линейных функционалов на V_n

Рассмотрим множество возможных линейных функционалов на V_n. Два функционала f и j будем называть равными, если " х Î V_n f (x) = j(х).

Введем операции сложения функционалов и умножение функционалов на скаляр из вещественного поля K так:

a) g = f + j Û " х Î V_n g (x) = f (x) + j(х);

b) g = l f Û " х Î V_n, "lÎ K g (x) = l f (x).

Нетрудно убедится, что множество линейных функционалов с так введенными операциями образуют линейное пространство. В качестве нейтрального функционала q определим функционал, который " х Î V_n q(х) = 0. Построенное таким образом пространство линейных функционалов заданных на V_n, называется пространством, сопряженным к V_n и обозначается V_n ^*.

1°. dim V_n = dim V_n ^*. ◀ ▶

Дата добавления: 2014-01-11