Определитель квадратной матрицЫ

Пусть задана квадратная матрица .

Определителем (det A) квадратной матрицы А со столбцами x_i = называется функционал j(x ₁, x ₂, …, x _n) относительно столбцов этой матрицы, которой а) линеен по каждому аргументу (полилинеен);

б) абсолютно антисимметричен (антисимметричен по любой паре аргументов);

в) выполнено условие нормировки .

Таким образом:

5°. .

Например: для определителя 3^го порядка в сумму входят 3! слагаемых a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃, a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁, a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂, a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁, a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ и a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂. Знаки этих слагаемых определяются четностью перестановок: , , , , , . Количество беспорядков в этих перестановках соответственно равно: 0, 2, 2, 3,1,1. Первые три перестановки четные, последние три нечетные, поэтому получаем уже известную из курса аналитической геометрии формулу:

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ – a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ – a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ – a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂.

Аналогично можно выписать непосредственно формулу вычисления определителя 4^го порядка (24 слагаемых), 5^го порядка (120 слагаемых). Ясно, что с увеличением порядка определителя его вычисление по определению становится чрезвычайно обременительным, если не невозможным.

Изучение свойств определителей позволит нам обойти эту трудность.

Дата добавления: 2014-01-11