Теорема Лапласа

Пример вычисления определителя

Вычислить определитель 5^го порядка:

–24(104 – 61) = –24×43 = –1032.

Пусть задана квадратная матрица A_nn. Выберем в матрице A k -строк i ₁, i ₂, …, i_k и k -столбцов j _1, j _2, ... j_k. Определитель матрицы образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных столбцов и строк называется минором k ^го порядка и обозначается _. Если из матрицы А вычеркнуть выбранные строки и столбцы то определитель оставшейся матрицы называется минором дополнительным к минору и обозначается .

Величина называется алгебраическим дополнением к минору и обозначается .

18°. Теорема Лапласа.

det A = .

Суммирование здесь производится по всем минорам k ^го порядка, стоящим в выбранных k -строках или в выбранных k –столбцах. ◀ ▶

Пример. Вычислить следующий определитель раскрывая его по минорам второго порядка, стоящим во второй и третьей строках определителя:

Существует шесть различных миноров второго порядка, стоящих в указанных строках:

M ₁₂= ; M ₁₃=; M ₁₄= ; M ₂₃= ; M ₂₄=; M ₃₄= .

Дополнительные к ним миноры:

; ; ; ; ; .

Найдем соответствующие алгебраические дополнения:

A ₁₂ = (-1)^2+3+3+4 M ₃₄ = M ₃₄; A ₁₃ = (-1)^2+3+2+4 M ₂₄ = - M ₂₄; A ₁₄ = (-1)^2+3+2+3 M ₂₃ = M ₂₃; A ₂₃ = (-1)^2+3+1+4 M ₁₄ = M ₁₄; A ₂₄ = (-1)^2+3+1+3 M ₁₃ = - M ₁₃; A ₃₄ = (-1)^2+3+1+2 M ₁₂ = M ₁₂.

Теперь, используя теорему Лапласа, можно записать:

D = M ₁₂ A ₁₂ + M ₁₃ A ₁₃ + M ₁₄ A ₁₄ + M ₂₃ A ₂₃ + M ₂₄ A ₂₄ + M ₃₄ A ₃₄ = M ₁₂ M ₃₄ - M ₁₃ M ₂₄ + M ₁₄M₂₃ + + M ₂₃ M ₁₄ - M ₂₄ M ₁₃ + M ₃₄ M ₁₂ = 2 (M ₁₂ M ₃₄ - M ₁₃ M ₂₄ + M ₁₄ M ₂₃ ) = 2 (-13×54+12×45-9×11) = –522.

Дата добавления: 2014-01-11