Метод выделения линейных множителей

а) Вычислить определитель .

1. Прибавляя к первому столбцу определителя остальные три, обнаружим, что в первом столбце есть общий множитель, который равен х + у + z. Следовательно, определитель делится на х + у + z.

2. Аналогично, прибавляя к первому столбцу второй и вычитая из него третий и четвертый столбцы, получаем, что определитель делится на х – у – z.

3. Если первый столбец сложить с третьим и вычесть второй и четвертый, то получим, что определитель делится на х – у + z.

4. Если к первому столбцу прибавить четвертый и вычесть второй и третий столбцы, то обнаружим, что определитель имеет множитель х – у + z. Итак:

= .

Ясно, что определитель является многочленом 4^й степени по x, по y и по z. Справа тоже многочлен той же степени. Поэтому V = const. В определитель x ⁴ входит в слагаемом:

a ₁₂ a ₂₁ a ₃₄ a ₄₃ = (–1)²× х × х × х × х = х ⁴.

В правой части старший член по х: Vx ⁴, т.е. V = 1. Получаем результат:

= (x + y + z)(x – y – z)(x – y + z)(x + y – z) = x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ – 2 x ² y ² – 2 x ² z ² – 2 у ² z ².

б) Вычислить определитель n -го порядка: .

Этот определитель называется определителем Вандермонда. Рассматривая его как многочлен (n –1)^й степени относительно x_n увидим, что он обращается в 0 при x_n = x _1, x_n = x _2, … x_n = x_{n – 1}. Тогда D_n = a_{n – 1}(x_n – x ₁)(x_n – x ₂) … (x_n – x_n–1), причем a_{n –1} = = D_{n –1}. Повторяя эту процедуру, получим: D_n = (x ₂ – x ₁)(x ₃ – x ₂)(x ₃ – x ₁)(x ₄ – x ₃)(x ₄ – x ₂)(x ₄ – – x ₁)… = .

Дата добавления: 2014-01-11