Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ранг матрицы. Имеется матрица Аmn порядка m´n и не все элементы ее равны 0




 

Имеется матрица Аmn порядка m ´ n и не все элементы ее равны 0. ($ aij ¹ 0).

Пусть существует минор r го порядка, который не равен нулю, и при этом любой минор порядка большего r равен нулю, т.е. $ Mr ¹ 0, " Mr + i = 0 (i =1, 2,…, nr).

Минор Mr называется базисным минором матрицы А (он необязательно единственный), строки и столбцы, выбором которых получен минор называются базисными строками и столбцами, число r называется рангом матрицы А: r = rang A. Другими словами rang А – это наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

6°. Теорема о базисном миноре. Строки базисного минора – линейно независимы, и любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк.

Примечание: Теорема может быть сформулирована и доказана не только для строк, но и для столбцов.

◀ 1) Пусть rang A = r. Не ограничивая общности можно считать, что первые r строк матрицы a 1, a 2,…, ar – базисные. Докажем их линейную независимость.

Пусть a1 a 1 + a2 a 2 +…+ a rar = q и пусть a1 ¹ 0. Тогда a 1 =, т.е. первая строка является линейной комбинацией остальных, но тогда det Mr = 0, что противоречит базисности минора Mr.

Значит a1 = a2 =…= a r = 0 и, следовательно, базисные строки матрицы линейно независимы.

2) Пусть rang A = r и базисный минор Mr стоит в левом верхнем углу:

.

Рассмотрим определитель (r + 1)го порядка, состоящий из подчеркнутых элементов: Ar +1.

По условию базисности минора Mr det Ar +1 = 0.

Разложим определитель Ar +1 по последнему столбцу. a 1 l A 1 l + … + arlArl + aklAkl = 0; При этом Akl ¹ 0 (это det Mr). Тогда .

Обозначим ; ; Akl – это минор Mr и не зависит ни от k, ни от l. Ail не зависит от l (при вычитании выбрасывается). Тогда c 1, c 2, ... cr не зависит от l, а зависит только от k. Имеем akl = с 1 a 1 l + с 2 a 2 l +...+ crarl. Последнее равенство показывает, что элементы kй строки выражены через элементы первых r строк. ▶

Из этой теоремы следует, что:

7°. det A = 0 тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

 

8°. rang A = dimℒ(a 1, a 2, …, am) = dimℒ(s 1, s 2, …, sn); a 1, a 2, …, a m – строки; s 1, s 2, …, s n – столбцы.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 362; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.