КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Спектр линейного оператора
Множество всех собственных значений линейного оператора называется его спектром. Спектр линейного оператора зависит от того каковы корни характеристического многочлена. 17°. В комплексном векторном пространстве V каждый линейный оператор А имеет, по крайней мере, хотя бы один собственный вектор и следовательно в V существует, по крайней мере, одно одномерное инвариантное относительно А подпространство. ◀ Справедливость этого следует из «основной теоремы алгебры». ▶ Более того j(l) = 0 в комплексном пространстве V имеет ровно n корней, с учетом их кратности: λ1, λ2, …, λ n. = с. С другой стороны 18°. λ1 + λ2 + … + λ n = a 11 + a 11 + … + ann = tr A = Sp A. (trace) (Spur) англ. нем. ◀ Величина a 11 + a 11 + … + ann называется следом матрицы А, но т.к. характеристический полином не зависит от выбора базиса то и Sp A не зависит от базиса и называется следом линейного оператора. ▶ 19°. Для всякого линейного оператора А в вещественном пространстве размерности n >2 существует одномерное или двухмерное инвариантное подпространство. ◀ Если j(l) = 0 имеет хотя бы один вещественный корень λ0 то оператор А имеет собственный вектор и, следовательно, одномерное инвариантное относительно А подпространство. Если j(l) = 0 не имеет вещественных корней, то существует комплексный корень l = a + b i. Решая относительно этого λ систему Az = l z, найдем комплексное решение z = x + iy. Т.е. A (x + iy) = (a + i b)(x + iy) = (a x – b у) + i (b x + a y). Приравнивая, вещественные и мнимые части правой и левой части равенства получим:. Отсюда ясно, что ℒ(x, y) есть подпространство, инвариантное относительно оператора А. ▶ И, наконец, еще два утверждения о спектре линейного оператора. 20°. Если λ1, λ2, …, λ n – все собственные значения оператора А, с учетом их кратностей и f (t) произвольный многочлен, то f (λ1), f (λ2), …, f (λ n ) – это все собственные значения оператора f (А), причем кратность f (λ i) такая же как и кратность λ і (собственные векторы при это не меняются). Доказать самостоятельно. 21°. Если Ах = λ0 х и detA ¹ 0, то существует А –1 и кроме того . ◀ Ах = λ0 х. Действуем оператором А –1. А –1 Аx = λ0 А –1 Þ = А –1 x. ▶
РАЗДЕЛ 8. Преобразования при изменении базиса
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 799; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |