Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область «без дыр»).

Рис. 24

Пусть и - две произвольные точки односвязной области D. Точки А и В можно соединить различными линиями L₁,L₂,L₃ (рис. 24). По каждой из этих кривых интеграл имеет свое значение. Если же значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл не зависит от вида пути интегрирования. Достаточно для вычисления отметить лишь его начальную и конечную точки пути. Записывают .

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие .

Следствие. Если выполняется условие , то интеграл по замкнутому контуру равен нулю . Верно и обратное утверждение.

Дата добавления: 2014-01-11