Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U=U(M) в заданном направлении введем понятие “производной по направлению”.

Возьмем в пространстве, где задано поле U=U(x,y,z) некоторую точку М и найдем скорость изменения функции при движении точки М в произвольном направлении (рис.27).

Пусть вектор имеет начало в точке М и направляющие косинусы cosα, cosβ, cosγ.

Приращение функции U возникающее при переходе от точки М к точке в направлении вектора определится как разность значений функции U в точках М и М₁

Рис. 27

∆U=U()-U(M) или ∆ U=U(x+∆x,y+∆y,z+∆z), тогда ∆λ = .

Производной от функции U=U(x,y,z) в точке М по направлению называется предел

Рис. 27

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точке М по этому направлению.

Если , то функция возрастает в этом направлении, если - убывает в направлении . Кроме того модуль представляет величину мгновенной скорости изменения функции U в направлении в точке М. Чем больше , тем быстрее изменяется функция U. В этом состоит физический смысл производной по направлению.

Если функция U(x,y,z) дифференцируема в точке М, то производная по направлению = существует и находиться по формуле:

(3.1.1)

Замечание: понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных ,,. Их можно рассчитать как производные от функции F по направлению координатных осей Оx, Оy, Оz. Так, если совпадает с положительным направлением оси Ох, то . Получаем .

Пример:

Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение:

Находим вектор {2;2;1} и направляющие косинусы:

, , .

Находим частные производные:

= 2х, = 2у-4z, = -4y.

.

Находим производную по направлению по формуле (3.1.1)

функция в данном направлении убывает.

Дата добавления: 2014-01-11