Градиент скалярного поля

В каком направлении производная имеет наибольшее значение?

Можно заметить, что правая часть формулы для вычисления производной по направлению представляет собой скалярное произведение единичного вектора и некоторого вектора .

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функций поля U(x,y,z) в любой точке M(x,y,z) называют градиентом функции и обозначают .

(3.1.2)
- величина векторная!

Свойства градиента:

1) градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.

Формулу (3.1.2) можно переписать в виде:

, , (3.1.3)

где - угол между вектором и направлением .

Из формулы (3.1.3) видно, если , то производная по направлению достигает максимального значения, а это значит , т.е. векторы и - совпадают.

2) наибольшая скорость изменения функции U в точке M равна

3) градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную тучку в сторону возрастания функции.

4) единичный вектор нормали к поверхности уровня может быть вычислен как

Пример:

Найти скорость наибыстрейшего возрастания поля U=xyz в т. Р(1;2;-2)

Решение:

Скорость наибыстрейшего возрастания функции в точке равна модулю градиента в этой точке.

= yz

.

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью , если точка P движется в направлении антиградиента .

Дата добавления: 2014-01-11