Числовые ряды. Основные понятия

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

называется числовым рядом. (4.1.1)

При этом - называются членами ряда, - общий член ряда.

Ряд (4.1.1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный, как функция его номера n: . Обычно n полагают равным 1,2,3,…, иногда начинают ряд с n=0.

Определение 2. Сумма конечного числа первых n членов ряда называется частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Примеры частичных сумм:

Определение 3. Если частичная сумма ряда (4.1.1) имеет при конечный предел S, то данный ряд называют сходящимся, а число S – называют суммой ряда.

Если же частичная сумма не имеет конечного придела, то говорят, что данный ряд расходиться и ряд называют расходящимся. (или - не существует.)

Примеры: 1) Ряд нельзя считать заданным, а ряд 2+5+8+… - можно, .

2) Ряд 0+0+0+… сходится, S=0 (сумма равна нулю);

3) Ряд 1+1+1+1+… расходится, ;

4) Ряд 1-1+1-1+1-1+… расходится, так как частичные суммы и - не имеет предела.

5) Ряд сходится. Имеем . Запишем первые n членов рада

.

Складывая их получаем , находим . Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.

Дата добавления: 2014-01-11