Признаки сравнения рядов

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Теорема 1. Пусть дан положительный ряд

, (4.2.1)

который нужно исследовать на сходимость. Пусть имеется также положительный ряд , (4.2.2)

о котором известно, что он сходится или расходится. Тогда:

1) если ряд (4.2.2) сходится и, начинается с некоторого значения n выполняется неравенство , то ряд (4.2.1) так же сходится (не превосходит );

2) если ряд (4.2.2) расходится и выполняется неравенство , то ряд (4.2.1) также расходится (члены ряда не меньше соответствующих членов ряда ).

Пример: Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии (ряд сходится т.к. ). Имеем, (начиная с первого члена ряда), следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2: Исследовать сходимость ряда .

Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Имеем: . Следовательно, ряд расходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения).

Пусть даны два знакоположительных ряда (4.2.1) и (4.2.2). Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Пример: Исследовать сходимость ряда .

Общий член ряда . Сравним с гармоническим рядом . Составим предел:

т.к. гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд.

Дата добавления: 2014-01-11