Интегральный признак Коши

Радикальный признак Коши.

Теорема 4. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный предел , тогда

при ряд сходится;

при ряд расходится;

при р=1 вопрос о сходимости остается открытым.

Пример:

Составим предел

Теорема 5. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е и пусть f(x) - такая непрерывная и невозрастающая функция, что , тогда верны следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ;

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Замечание: вместо интеграла можно брать интеграл , где .

Отбрасывание k первых членов ряда не влияет на сходимость (или расходимость) ряда.

Пример (доказательство расходимости гармонического ряда): исследовать на сходимость гармонический ряд .

Составим интеграл . Интеграл расходится. Следовательно, расходится и гармонический ряд.

Дата добавления: 2014-01-11