КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тригонометрический ряд Фурье
Покажем, что практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, с помощью, так называемого, тригонометрического ряда. Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида где действительные числа а 0, аn, bn называются коэффициентамиряда. Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул. Нужно решить два вопроса: 1) При каких условиях функция f(x) с периодом 2π может быть разложена в ряд (5.2.1)? 2) Как вычислить коэффициенты а 0,… аn, bn? Начнем с решения второго вопроса. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеи имеет период Т=2π. Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем. I. При любом целом , так как функция четная. II. При любом целом . III. (m и n целые числа)
IV. V.
При (m и n целые числа) каждый из интегралов (III, IV, V) преобразуется в сумму интегралов (I) или (II). Если же , то в формуле (IV) получаем:
Анологично доказывается равенство (V). Предположим теперь, что функция оказалась такой, что для неё нашлось разложение в сходящийся ряд Фурье, то есть (5.2.2) (Следует обратить внимание, что суммирование идёт по индексу n). Если ряд сходится, то его сумму обозначим S(x). Почленное интегрирование (законное в силу предположения о сходимости ряда) в пределах от до даёт так как все слагаемые кроме первого равны нулю (соотношения I, II). Отсюда находим (5.2.3) Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до , найдем коэффициент an. В правой части равенства все слагаемые равны нулю, кроме одного m=n (соотношения IV, V), Отсюда получаем (5.2.4) Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до ,аналогичным образом находим коэффициент bn
(5.2.5) Значения - определяемые по формулам (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд (5.2.2) – ряд Фурье для данной функции f(x). Итак, получили разложение функции f(x) в ряд Фурье
Вернемся к первому вопросу и выясним какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы построенный ряд Фурье был сходящимся, и сумма ряда равнялась бы именно f(x). Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной, если она непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода. Определение. Функция f(x), заданная на отрезке называется кусочно-монотонной, если отрезок можно разбить точками на конечное число промежутков, в каждом из которых функция изменяется монотонно (возрастая или убывая). Будем рассматривать функции f(x), имеющие период Т=2π. Такие функции называются 2π - периодическими. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле (примем без доказательства). Если 2π -периодическая функция f(x) на отрезке является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной, то соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом: 1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S(x)=f(x); 2. В каждой точке х0 разрыва функции f(x) сумма ряда равна , т.е. среднему арифметическому пределов функции слева и справа от точки х0; 3. В точках (на концах отрезка) сумма ряда Фурье равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений функции на концах отрезка, при стремлении аргумента к этим точкам изнутри промежутка. Замечание: если функция f(x) с периодом 2π непрерывна и дифференцируема во всем промежутке и значения ее на концах промежутка равны, т.е., то ввиду периодичности эта функция непрерывна на всей числовой оси и при любом х сумма ее ряда Фурье совпадает с f(x).
Таким образом, если интегрируемая на отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место равенство (разложение в ряд Фурье): Коэффициенты вычисляются по формулам (5.2.3) - (5.2.5). Условиям Дирихле удовлетворяет большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Ряды Фурье, как и степенные ряды, служат для приближенного вычисления значений функций. Если разложение функции f(x) в тригонометрический ряд имеет место, то всегда можно пользоваться приближенным равенством , заменяя данную функцию суммой нескольких гармоник, т.е. частичной суммой (2 n +1) члена ряда Фурье. Тригонометрические ряды широко используют в электротехнике, с их помощью решают многие задачи математической физики. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2π, заданную на интервале (-π;π).
Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье: Получили разложение функции в ряд Фурье В точках непрерывности сумма ряда Фурье равна значению функции f(x)=S(x), в точке х=0 S(x)=1/2, в точках х=π,2π,… S(x)=1/2.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2637; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |