Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом отличным от 2π.

Пусть функция f(x), определенная на отрезке , имеет период 2 l и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку , данную функцию f(x) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке и имеет период Т=2π.

Действительно, если t=-π, то x=-l, если t=π, то x=l и при имеем ;

, т.е. .

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид

,

где

Возвращаясь к исходной переменной х и учитывая, что , , получим

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т= 2 l.

Правила разложения четных и нечетных функций и здесь остаются в силе. Если функция f(x) на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид , где ; если функция f(x) – нечетная, то

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением .

Решение. Разложение в ряд Фурье необходимо выполнить только на интервале изменения аргумента , поэтому функцию можно представить периодической с периодом равным 2 (см. рис 34).

Рис. 34 График функции в заданном интервале изменения аргумента с периодическим продолжением на оси

Заданная функция является четной, определенной в интервале (l=1), поэтому коэффициенты ряда Фурье равны

В итоге получаем искомый ряд Фурье

.

Дата добавления: 2014-01-11