Математические модели САУ. Способы получения и формы представления

Особенность теории управления состоит в том, что в ней полностью отвлекаются (абстрагируются) от назначения, физической природы и конструктивных особенностей САУ и составляющих их элементов, а изучение процессов и характеристик осуществляется с помощью абстрактных математических описаний (моделей). Математическая модель САУ (ММ) представляет собой запись всех тех физических законов, которым подчиняются изменения физических переменных и явлений в исследуемой системе. Получение ММ является одним из важнейших начальных этапов исследования, непосредственно предшествующим применению методов анализа и синтеза.

Возможны два подхода к получению ММ САУ: а) теоретический и б) экспериментальный. В первом из них на основе принципиальных схем элементов системы записываются математические уравнения и соотношения, которые описывают физические явления и процессы в них. При этом используются теоретические сведения из соответствующих научно-технических дисциплин, изучающих конкретный вид элементов системы более подробно. Численные значения параметров ММ (коэффициенты) определяются либо расчетным путем, либо по техническим справочникам.

Во втором из них сведения о ММ элементов и значениях параметров получают из результатов экспериментального исследования реальных элементов или их опытных образцов методами теории идентификации. Модель системы определяется таким образом, чтобы она достаточно точно объясняла экспериментальные (опытные) данные. При этом различают параметрическую и структурно-параметрическую идентификацию. В первом случае вид ММ известен с точностью до значений некоторых коэффициентов, которые и определяются одним из методов теории идентификации.

Возможны две основные формы представления ММ: аналитическая (в виде формул и уравнений) и графическая (в виде структурной схемы).

Аналитическая форма ММ в общем случае (при большом числе уравнений) неудобна для восприятия и установления различных причинно-следственных связей. Кроме того, из-за разнородности типов уравнений, такая модель может оказаться непригодной для аналитического исследования.

Гораздо большей наглядностью обладает графическое отображение переменных в составе ММ, при котором независимые переменные (аргументы) изображаются стрелками, входящими в структурные блоки (входы), а зависимые переменные в уравнениях – выходящими из структурных блоков стрелками (выходы). Преобразование входных переменных в выходные переменные осуществляется структурным блоком в соответствии с некоторым математическим правилом (оператором преобразования Ã _t). Таким образом, ММ представляется графически в виде соединения однонаправленных структурных блоков (звеньев), которое называют структурной схемой ММ. В ТАУ структурные представления ММ для отдельных устройств, их соединений или их составных частей и компонентов находят очень широкое применение на различных этапах изучения и синтеза САУ.

Различают также исходные ММ, полученные при составлении математических описаний и преобразованные к некоторому стандартному, пригодному для теоретического исследования виду. При этом применяются две основные стандартные формы записи уравнений в составе некоторой ММ:

А) уравнение «вход-выход». Оно получается из исходной (или из другой) формы ММ в результате исключения всех промежуточных переменных, кроме входа u и выхода y. Такие уравнения можно получить для каждого конструктивного или структурного блока, а также для их соединения и для всей САР. В случае непрерывных систем уравнения «вход-выход» обычно имеют вид дифференциальных уравнений n -го порядка:

F (y, y ⁽¹⁾,… y ^{( n )}, u, u ⁽¹⁾,… u ^{( m )})=0.

Б) уравнения «вход-состояние-выход» или кратко - уравнения состояния. Они получаются из исходной ММ путем введения новых, дополнительных, иногда не имеющих физического смысла «переменных состояния», общее число которых равно порядку ММ. Система уравнений, записанная относительно вектора «переменных состояния» x, входа u и выхода y и будет искомой формой ММ:

Одному и тому же конструктивному блоку (устройству) можно поставить в соответствие не одну, а ряд ММ, различающихся по сложности и точности отображения реальных физических процессов. Более точные ММ могут оказаться слишком сложными для применения теоретических методов, поэтому на начальных этапах исследования, как правило, рассматриваются более простые, но менее точные (грубые) модели.

Для получения простых ММ используются два основных подхода: идеализация и аппроксимация.

Идеализация представляет собой упрощение (понижение уровня сложности) на физическом уровне на этапе составления ММ. При этом не учитываются те явления, которые малосущественны в рамках проводимого исследования.

Аппроксимация – это упрощение модели на формально-логическом (математическом) уровне. Наиболее распространенным способом аппроксимации является линеаризация ММ, суть которой состоит в приближенной замене нелинейной ММ линейной, как более простой для исследования. При этом в ТАУ применяются следующие способы (методы) линеаризации:

· метод касательных (линеаризация в «малом», в точке);

· метод секущих (линеаризация в «большом», на отрезке);

· метод гармонической линеаризации;

· метод статистической линеаризации;

· вибрационная линеаризация.

Суть линеаризации методом касательных геометрически соответствует замене криволинейной дуги графика функции в малой окрестности некоторой опорной точки отрезком касательной, проведенной к дуге в точке линеаризации;

При линеаризации методом секущих дуга графика нелинейной зависимости между переменными на некотором отрезке заменяется хордой (секущей);

При линеаризации методом гармонической линеаризации, нелинейная зависимость заменяется линейной таким образом, чтобы при гармоническом входе первая гармоника выхода совпадала с выходом эквивалентной линейной зависимости.

При линеаризации нелинейной зависимости методом статистической линеаризации эквивалентная линейная зависимость выбирается из условия совпадения некоторых статистических характеристик выходов при случайном входном сигнале типа «белый шум» с нормальным законом распределения.

Вибрационная линеаризация – это практический метод борьбы с нежелательными проявлениями влияния нелинейностей на физическом уровне. При этом на вход звена с нелинейными свойствами подается дополнительный (вибрационный) высокочастотный сигнал с малой величиной амплитуды колебаний, который оказывает «линеаризующее» действие по отношению к взаимосвязи средних составляющих входа и выхода.

1.2.1. Пример составления ММ

Рассмотрим электромеханическое устройство, состоящее из катушки индуктивности, сердечника из магнитного материала и пружины (рис. 1.4). Оно служит для преобразования электрического напряжения u (t) в линейное перемещение x (t) и может выполнять функции простейшего исполнительного устройства, или быть частью электрогидравлического усилителя.

Рис. 1.4

Математическая модель устройства состоит из уравнения а), описывающего электрическую часть; уравнения б) для механической части и выражения в), устанавливающего взаимосвязь этих частей:

а) ; б) ; в) . (1)

Уравнения получены при следующих упрощающих предположениях: магнитная система устройства не насыщена и сухое трение отсутствует.

Для получения ММ в форме уравнения вход-выход нужно исключить промежуточные переменные i (t) и F (t). При этом уравнение, связывающее входную и выходную переменные, будет иметь вид линейного дифференциального уравнения третьего порядка:

, (2)

где .

Для получения ММ устройства в форме уравнений состояния, дополнительно вводятся новые переменные x ₁= x x ₂ =; x ₃ =. Тогда система уравнений относительно новых переменных запишется в виде

(3)

Эта форма записи и является уравнениями состояния устройства, которые в случае линейной ММ обычно записывают в стандартном векторно-матричном виде:

(4)

Здесь x =(x₁, x₂, x₃) - вектор состояния, у = x – выход; А, В, С, D – матрицы, элементы которых зависят от коэффициентов уравнений (1), (2):

; ; ; D =0. (5)

Как исходные уравнения (1), так и уравнения состояния (3) можно отобразить графически в виде соответствующих им структурных схем.

Дата добавления: 2014-01-11