Исследование влияние параметров на устойчивость ЛДС

Параметры реальных САР всегда отличаются от их расчетных значений (старение элементов, влияние внешних факторов, отклонение режимов от тех, относительно которых проводилась линеаризация и т.п.). Это приведет к изменению коэффициентов и корней характеристического уравнения системы, при которых САР может оказаться или не устойчивой, или близкой к границе устойчивости.

Оценить влияние изменений (вариаций) параметров на устойчивость и запасы устойчивости САР можно, если предварительно построить области устойчивости в пространстве изменяемых параметров. Для наглядности построений часто полагают, что таких параметров только два: l₁ и l₂.

Тогда некоторые коэффициенты характеристического уравнения будут зависеть от этих параметров и его можно записать в виде

A (p, l₁, l₂)=0. (1)

Областью устойчивости в плоскости параметров l₁, l₂ называется множество таких ее точек, которым соответствуют характеристические корни, расположенные слева от мнимой оси, т.е. в ЛПП. Отыскать конечное число таких точек можно, в принципе, с помощью любого из критериев устойчивости. Для этого достаточно выполнить исследование устойчивости для множества узловых точек прямоугольной сетки, покрывающей некоторую часть плоскости параметров. Наиболее пригодны для сеточного метода алгебраические критерии, и особенно критерий устойчивости Рауса.

Очевидно, что сеточный метод является избыточным, т.к. для определения области устойчивости достаточно строить ее границы, не находя ее внутренних точек. Для расчета точек границы следует воспользоваться математическими условиями нахождения линейной САР на границе устойчивости, при выполнении которых в распределении корней нет «правых», но есть хотя бы один (или более) корень на мнимой оси. Для этой цели можно использовать, например, условие Гурвица:

D _n (l₁, l₂)= a ₀D _{n –1}= 0, при D₁,..., D _{n –2} > 0. (2)

Задавая ряд значений одного из параметров, например l₁, и многократно решая уравнение (2) относительно другого параметра, получают координаты l₁, l₂ для множества точек границы устойчивости.

Для систем высокого порядка уравнение (2) оказывается слишком сложным для решения. Более универсальным подходом к построению границ областей устойчивости является метод D -разбиений плоскости параметров, предложенный Ю.И. Неймарком. Суть его состоит в том, что для характеристического полинома САР записывается условие существования корня на мнимой оси (необходимое условие границы) в следующем виде:

A (j w,l₁, l₂)=0. (3)

Обозначив F ₁(w, l₁, l₂) = Re A(j w,l₁, l₂) F ₂(w, l₁, l₂) = Im A (j w,l₁), запишем это условие в виде системы двух уравнений:

F ₁(w, l₁, l₂) = 0; F ₂(w, l₁, l₂) = 0. (4)

Рассматривая эти уравнения как способ (оператор) отображения множества точек мнимой оси плоскости p на плоскость параметров (l₁, l₂), получим линию Г (или набор линий), обладающую следующим свойством:

· Если точка (l₁, l₂) попадает на линию, то один или два характеристических корня располагаются на мнимой оси, а остальные корни будут слева и справа от нее. При таких значениях l₁ и l₂ годограф Михайлова будет проходить через начало координат, а годограф Найквиста – через точку "–1, j 0".

· Переходу точки в плоскости (l₁, l₂) через линию Г всегда соответствует переход одного или двух корней из одной ПП в другую. Поэтому плоскость параметров разбивается этой линией Г на области D_i, внутренним точкам которых соответствует одинаковое, но заранее неизвестное число i ³0 правых корней. Такие области называются D -областями, а линию Г – границей D -разбиения.

Та из D -областей, точкам которой соответствует наименьшее число "правых" корней, называется областью-претендентом. Для ее определения разработано специальное правило штриховки границ. При этом если хотя бы для одной точки области претендента САР окажется устойчивой, то это будет область D ₀, т.е. искомая область устойчивости.

Уравнения (4) в неявном виде задают границы D -разбиения и в общем случае будут нелинейными относительно параметров l₁, l₂. Поэтому для произвольного w из диапазона [0,¥) уравнения (4) могут оказаться: а) несовместными (нет вещественных решений); б) эквивалентными (бесконечное число решений) и в) обычными, когда есть одно или несколько вещественных решений.

Точки Г, соответствующие случаю в) при изменении w образуют основную границу D -разбиения. При этом если определитель (якобиан системы уравнений):

, (5)

то основная граница Г отмечается двойной штриховкой слева по ходу возрастания w и двойной штриховкой справа в противном случае. Переход точки параметров через такую границу из заштрихованной области в не заштрихованную соответствует переходу двух комплексно-сопряженных корней из ЛПП в ППП.

При некоторых значениях w система уравнений (4) может вырождаться и обычно это бывает при w=0 или w=¥. Таким значениям w соответствует бесчисленное множество решений, т.е. линия в плоскости параметров, которая называется особой границей. Для нее принято специальные правила штриховки:

1) если особая линия (граница) не пересекается с основной границей D -разбие-

ния, то она отмечается однократной штриховкой, направленной в сторону (встречно) штриховке основной границы. Переход точки параметров через эту линию из заштрихованной области в не заштрихованную соответствует переходу одного вещественного корня из ЛПП в ППП. Как правило, уравнения для таких особых границ можно получить, приравнивая к нулю коэффициенты при p ⁰ и pⁿ в характеристическом уравнении САР:

a ₀(l₁, l₂) = 0 – особая граница при w=0 (соответствует нулевому корню); (6)

a_n (l₁, l₂) = 0 – особая граница при w=¥ (соответствует бесконечному корню). (7)

2) если особая линия пересекается с основной границей в некоторой точке, где определитель G (w) не меняет знак, то такая линия штриховкой не отмечается, и она отбрасывается из дальнейшего рассмотрения.

3) если в точке пересечения особой линии с основной границей определитель G (w) меняет знак, то особая линия отмечается (если w _k ¹ 0 или ¥) двойной штриховкой навстречу штриховке основной границы. В этом случае при переходе точки параметров из заштрихованной области в не заштрихованную два характеристических корня переходят из ЛПП в ППП.

Располагая приведенным правилом штриховок для основной границы и для особых линий можно определить такую D -область, для которой все штриховки будут внутренними. Это будет область-претендент, т.к. смежные с ней и все другие области будут соответствовать бóльшему числу правых характеристических корней. Одна из внутренних точек ее должна быть проверена на устойчивость с помощью какого-либо критерия устойчивости. Если ЛДС при этом оказалась устойчивой, то она будет устойчивой и в остальных внутренних точках этой области и, следовательно, является искомой областью устойчивости.

Именно со штриховкой границ D -разбиения связано большинство ошибок при компьютерных расчетах границ областей устойчивости на основе метода D - разбиения. Задача решения уравнений (4) существенно упрощается, если параметры l₁, l₂ входят в них линейно. Тогда решение можно найти по правилу Крамера. Особые границы при этом будут прямолинейными и называются особыми прямыми. В некоторых случаях они могут совпадать с осями координат.

Для упрощения решения, имеет смысл попытаться нелинейные уравнения (4) заменой переменных привести к линейным относительно вспомогательных (расчетных) параметров. Тогда граница области устойчивости сначала строится по отношению к этим расчетным параметрам, а затем пересчитывается к варьируемым параметрам l₁, l₂.

Рекомендуемая литература

1. Теория автоматического управления /Под ред. В.Б. Яковлева. М.: ВШ, 2005.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. - Спб.: Профессия, 2003.

3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления.– Питер, 2005.

4. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. -Спб.: Политехника, 2004.

Дата добавления: 2014-01-11