Применение критерия Найквиста для анализа устойчивости ЛДС со сложной структурой

Критерий устойчивости Найквиста (1932 г.).Этот критерий был разработан для систем с отрицательной обратной связью и его доказательство основано на принципе аргумента (частотном свойстве) для дробно-рациональной функции комплексной переменной с вещественными коэффициентами.

Пусть H (p)= A (p)/ D (p), где A (p) и D (p) полиномы n -го порядка с вещественными коэффициентами, не имеющие корней на мнимой оси. Обозначим как r ₁ и r количество правых корней для этих полиномов. Рассмотрим изменение аргумента функции H (j w), полагая, что w изменяется от 0 до +¥. Основываясь на частотном свойстве (4.4) для полиномов, можем записать:

Darg H (j w)=D arg A (j w) – D arg D (j w)=p(r – r ₁). (4.6)

Рассмотрим далее линейную САР с единичной отрицательной обратной связью (ЕООС) с передаточной функцией разомкнутого контура W (p) = B (p)/ D (p), в которой порядок числителя не выше порядка знаменателя n. Образуем функцию H (p) = 1+ W (p), которую называют функцией возвратных разностей:

. (4.7)

Ее особенность в том, что она равна отношению характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем. Применим формулу (4.6) к этой функции.

Если замкнутая система устойчива, то для j _зам (p) число правых корней r ₁=0 и Darg H (j w)= p r = 2p× r /2 при изменении w от 0 до +¥. И наоборот, если приращение аргумента этой функции будет равно p× r, то число "неустойчивых" корней r ₁=0, и замкнутая система будет устойчивой. Но так как изменению аргумента функции H (j w) на величину 2p соответствует полный оборот годографа функции в положительном направлении (против часовой стрелки) относительно начала координат, то критерию можно придать следующую геометрическую трактовку:

· Для устойчивости замкнутой САР с ЕООС необходимо и достаточно, чтобы годограф функции H (j w) охватывал в положительном направлении начало координат r /2 раз.

Так как H (j w) не имеет понятного физического смысла, то целесообразно этот критерий сформулировать относительно годографа частотной передаточной функции W (j w)= H (j w) - 1. При этом охвату годографом H (j w) начала координат (0, j 0) соответствует охват годографом W (j w) точки (-1, j 0). График функции W (j w) в таком случае называют годографом Найквиста и критерий устойчивости (Найквиста) приобретает следующий традиционный вид:

· Для устойчивости САР с ЕООС необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал точку "-1" на вещественной оси в положительном направлении r /2 раз. Здесь r - это число полюсов передаточной функции разомкнутой системы в правой полуплоскости.

В том случае, когда годограф Найквиста при некоторой частоте w₁ проходит через точку "–1", то из W (j w₁) = –1 следует, что H (j w₁)=0 и j _зам (j w₁)= 0. Замкнутая система при этом имеет два корня на мнимой оси (p ₁= j w₁, p ₂=- j w₁) и либо неустойчива, либо находится на колебательной границе устойчивости. Это можно уточнить, путем малых деформаций годографа Найквиста в окрестности критической точки "-1" в двух противоположных направлениях. Если один из деформированных годографов соответствует устойчивой системе, а другой – неустойчивой, то исследуемая САР находится на колебательной границе устойчивости.

При сложной форме годографа Найквиста подсчет числа охватов им критической точки (-1, j 0) можно упростить, применяя правило переходов, Я.З. Цыпкина. При этом рассматривают точки пересечения годографом части вещественной оси (–1, –¥), называемой далее контрольным отрезком. Переход точки годографа на этом отрезке из верхней полуплоскости в нижнюю считается положительным, а обратный - отрицательным. Половина перехода будет тогда, когда годограф при w=0 берет начало на этом отрезке. Правило знаков для полупереходов остается прежним. Тогда количество охватов N годографом Найквиста критической точки (-1, j 0) будет равно разности числа положительных и отрицательных переходов, т.е. N = N ⁺ - N ^-.

Если разомкнутая система имеет полюсы на мнимой оси (в том числе нулевые), то годограф Найквиста для некоторых частот будет иметь разрыв непрерывности второго рода. В таких случаях для правильного применения этого критерия устойчивости необходимо провести дополнительные рассуждения и построения.

Рассмотрим, например, часто встречающийся на практике случай, когда W (p) имеет нулевой полюс кратности n:

. (4.8)

Тогда при w=0 значение W (j w) не определено, а годограф Найквиста будет иметь разрыв непрерывности второго рода. Для выяснения направления разрыва частотного годографа при w®0 воспользуемся приближенным выражением для W (j w)» b ₀/ d ₁₀(j w)ⁿ. Отсюда следует, что при четных значениях степени n (порядок астатизма САР) годограф Найквиста будет иметь бесконечный разрыв в направлении вещественной оси, а при нечетных - в направлении мнимой оси. Для того, чтобы сделать возможным подсчет числа оборотов N вокруг точки «–1», расчетную часть годографа условно дополняют (пунктиром) дугой окружности достаточно большого радиуса, проходящей в положительном направлении через n квадрантов. Такое «дополнение на бесконечности» соответствует тому, что нулевой полюс считается пределом вещественного отрицательного полюса p ₁=–|a| при a®0. После этого критерий Найквиста можно применять в обычной форме.

Если нулевой полюс считать пределом вещественного положительного полюса, то указанное «дополнение на бесконечности» нужно изображать в противоположном направлении, а число правых полюсов r увеличить на n.

Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда W (p) имеет два корня знаменателя на мнимой оси (p ₁= j w₁, p ₂=– j w₁). Тогда W (p) запишется в виде

. (4.9)

При этом годограф Найквиста будет иметь разрыв второго рода при w=w₁ в направлении вектора V (j w₁)= W ₁(j w₁). Для исследования устойчивости САР в этом случае расчетную часть годографа необходимо дополнить пунктиром полуокружностью достаточно большого радиуса в положительном направлении (против часовой стрелки). При таком способе дополнения годографа Найквиста мнимые полюса считаются пределом "левых" комплексных полюсов p _1,2=–|a|± j w₁, у которых вещественная часть –|a| стремится к нулю.

Ввиду широкого применения логарифмических частотных характеристик, целесообразно критерий Найквиста сформулировать относительно ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. При этом правило переходов Цыпкина применяется к ЛФХ в тех диапазонах частот, где ЛАХ разомкнутой системы положительна. Для этого подсчитывается число переходов ЛФХ через "критические" уровни j_кр= –p±2 k p в диапазонах положительности ЛАХ. Переход «вверх» считается положительным, а переход «вниз» - отрицательным.

Если при w=0 ЛФХ начинается на критическом уровне, то это соответствует половине перехода соответствующего знака. Число охватов N годографом точки (-1, j 0) будет, как и раньше, равно разности числа положительных N ⁺ и отрицательных N ^- переходов, а условие Найквиста для устойчивости САР не изменится: N = N ⁺ - N ^- = r/2.

В том случае, когда у W (p) есть нулевой полюс n-го порядка (астатическая система), фазовая характеристика в области значений частоты w®0 доопределяется скачком вверх на величину n×p/2, а затем применяется правило переходов и критерий устойчивости.

Для простых САР с одним диапазоном положительности ЛАХ и r =0, критерий Найквиста имеет более простую формулировку: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы график j_w(w) пересекала критический уровень «–p» левее частоты среза w_cр четное число раз. В частности, если критическая частота w_кр единственная, то условие устойчивости примет вид w_cр < w_кр.

Важнейшей особенностью рассматриваемого частотного метода является то, что он позволяет оценить не только устойчивость системы, но и удаленность ее от колебательной границы устойчивости. Чем меньше расстояние годографа до точки «–1», тем меньше запас устойчивости и тем больше склонность ее к колебаниям в переходном процессе. Справедливо и обратное утверждение.

По объективным причинам (старение, влияние окружающей среды и др.) параметры реальной системы отличаются от расчетных значений и при близком расположении расчетного годографа Найквиста и точки "–1" реальная система может оказаться неустойчивой. Поэтому при проектировании САР минимальное расстояние годографа до «опасной» точки необходимо ограничивать. С этой целью вводится понятие запасов устойчивости, количественной характеристикой их могут быть, например, величины линейного и углового расстояния годографа до критической точки. Их называют, соответственно, запас устойчивости по модулю (по усилению) и по фазе.

Первый из них (запас по усилению) K _д связан с расстоянием b ₁ годографа до точки "–1" в направлении вещественной оси:

K _д = 1/(1– b ₁).

Он имеет смысл дополнительного коэффициента усиления разомкнутой системы, при наличии которого годограф Найквиста «попадет» на частоте w = w_кр в точку "–1". Если К – коэффициент передачи разомкнутого контура, то при увеличении его до значения K _гр = KK _д, замкнутая система окажется на колебательной границе устойчивости. Часто запас устойчивости по коэффициенту усиления выражают в децибелах (дБ): L _з = 20lg K _д.

При параллельном смещении ЛАХ разомкнутой системы вверх на величину L _з, частота среза и критическая частота будут одинаковыми, и система окажется на границе устойчивости. Таким образом, величина L _з численно равна расстоянию точки ЛАХ разомкнутой системы до оси 0 дБ на критической частоте: L _з=| L_w (w_кр)|. Типовое (рекомендуемое) значение L _з должно быть не менее 6 дБ, что соответствует К _д > 2.

Другим показателем запаса устойчивости является запас по фазе j _з. Он равен избытку фазы, т.е. расстоянию графика фазовой характеристики до критического уровня –p на частоте среза:

j _з=|j(w_cр)+ p|.

Он показывает величину дополнительного отрицательного фазового сдвига на частоте среза w_cр, при наличии которого САР окажется на колебательной границе устойчивости, а ее годограф Найквиста будет проходить через точку "–1". Типовое значение j _з для проектируемых САР обычно не менее 30…45 град.

В общем случае годограф Найквиста может пересекать вещественную ось в нескольких точках, которым соответствует несколько критических частот. Такие САР имеют АФЧХ второго рода и их принято называть условно устойчивыми. Их особенностью является то, что они могут изменять свойство устойчивости (неустойчивости) как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления. Если, например, такая система устойчива при w_кр1 < w_cр < w_кр2, то для нее необходимо рассматривать еще один показатель запаса устойчивости – на уменьшение коэффициента усиления. Он связан с расстоянием b ₂ точки годографа на частоте w_кр1 до критической точки «–1»: K ₁=1+ b ₂ =| W (j w_кр1)| и показывает, во сколько раз нужно уменьшить коэффициент передачи разомкнутой системы, для того чтобы она оказалась на колебательной границе устойчивости. При этом L _з2=20lg(1+ b ₂).

При синтезе САР запасы устойчивости j _з, L _з и L _з2 принято ограничивать снизу некоторыми допустимыми значениями. Эти требования будут обеспечены, если среднечастотная часть годографа Найквиста не заходит в угловой сектор кольца (R ₁=1– b ₁, R ₂=1+ b ₂) с центром в начале координат и центральным углом 2 j _з, содержащем точку "–1".

Частотный метод исследования устойчивости на основе критерия Найквиста имеет ряд достоинств, которые делают его незаменимым инструментом в инженерных приложениях. Перечислим основные из них:

1) При построении годографа Найквиста можно использовать не только расчетные, но и экспериментально полученные частотные характеристики.

2) Использование критерия Найквиста позволяет не только определить факт устойчивости ЛДС, но и позволяет для устойчивой ЛДС оценить удаленности ее от колебательной границы устойчивости.

3) Для неустойчивой системы критерий позволяет указать направление деформации годографа и соответствующий частотный диапазон с целью ее стабилизации и обеспечения требуемых запасов устойчивости.

Для того, чтобы точки годограф Найквиста устойчивой системы вывести из "запретной" области, применятся разные виды коррекции частотных свойств разомкнутой системы:

1) амплитудная; 2) фазовая; 3) амплитудно-фазовая.

Так, например, при амплитудно-фазовой коррекции дополнительное (корректирующее) звено на частотах некоторого диапазона изменяет и модуль, и аргумент (фазу) W (j w). При этом могут использоваться как фазоопережающие, так и фазоотстающие корректирующие звенья, позволяющие деформировать желаемым образом годограф Найквиста.

Физическая реализация корректирующих звеньев может быть различной и часто для этой цели применяются электрические RC -четырехполюсники.

Для применения критерия устойчивости Найквиста в его традиционной форме структурная схема ЛДС должна быть преобразована к виду соединения с единичной обратной связью. При этом нужно знать не только передаточную функцию разомкнутого контура, но и число ее полюсов в правой полуплоскости.

Для многоконтурных и многосвязных систем, имеющих в своем составе много звеньев, решение этой задачи может вызывать большие трудности, т.к. требует выполнения плохо формализуемых структурных преобразований. Поэтому необходима специальная модификация частотного критерия, которая позволяла бы исследовать устойчивость ЛДС со сложной структурой взаимосвязей звеньев между собой без приведения ее к каноническому виду.

Рассмотрим ЛДС, образованную N звеньями с передаточными функциями W_i (p)= B_i (p)/ A_i (p). Структура взаимосвязей звеньев между собой и с внешней средой (по входам и выходам) задается матрицами R _y, R _x, S _y, S _x. Как было получено ранее, передаточная матрица (функция) такой ЛДС определяется формулой:

W (p) = S _y [ E - W *(p)* R _y]^–1 W *(p) R _x + S _x,

где W *(p)=diag{ B_i (p)/ A_i (p)} - диагональная матрица.

Для такой системы будем рассматривать матрицу возвратных разностей Q (p)=[ E – W *(p) R _y] и ее определитель H (p):

H (p)=det Q (p) = det{ E –[ A *(p)]^–1 B *(p) R _y]},

где A *(p) и B *(p) – диагональные полиномиальные матрицы, элементами которых являются, соответственно, полиномы знаменателей и числителей передаточных функций отдельных звеньев.

Тогда, используя свойства определителей для обратной матрицы и для произведения матриц, получим формулу

H (p)=det(A *(p)– B *(p) R _y)/det A *(p) =j_зам(p)/j_раз(p).

Числителем этого выражения является характеристический полином j_зам(p) замкнутой системы, а знаменателем - характеристический полином j_раз(p) разомкнутой (по всем связям) системы. Причем j_раз(p)=и нахождение всех его корней не представляет трудностей. Среди них могут быть r корней справа от мнимой оси.

Для устойчивости замкнутой по всем связям ЛДС все корни полинома j_зам(p) должны принадлежать ЛПП, т.е. число правых корней r ₁ = 0.

Используя частотное свойство дробно рациональной функции при изменении ее независимой переменной в диапазоне [0, j ¥), можно записать

Darg H (j w) = Darg j_зам(j w) - Darg j_раз(j w)= p(r - r ₁) = 2p×(r - r ₁)/2.

Тогда при r ₁=0 получим частотный критерий устойчивости Найквиста для ЛДС со сложной структурой:

· Для устойчивости сложной ЛДС необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф определителя матрицы возвратных разностей охватывал начало координат комплексной плоскости в положительном направлении r /2 раз, где r - это число неустойчивых полюсов в передаточных функциях отдельных звеньев.

Примечания:

1) При наличии нулевых полюсов в передаточных функциях W_i (p) рассматриваемый частотный годограф необходимо дополнять на бесконечности так же, как это делалось для астатических систем при использовании критерия Найквиста.

2) Для удобства применения критерия, вместо H (p) можно рассматривать вспомогательную функцию G (p)= H (p)–1 и далее изучать ее частотный годограф. По отношению к этому годографу частотный критерий устойчивости будет иметь привычную форму критерия Найквиста, поэтому для подсчета числа оборотов годограф Найквиста вокруг точки "–1" удобно применить правило переходов Цыпкина.

· Аналогичным образом критерий Найквиста можно применить для исследования устойчивости многосвязной САР с передаточной матрицей разомкнутого контура W (p). Для такой системы матрица возвратных разностей Q (p)= E + W (p), а ее определитель H (p)=det[ E + W (p)]=j_зам(p)/j_раз(p). При этом j_раз(p) является знаменателем определителя | W (p)|. Необходимое для применения критерия число его правых характеристических корней r (с учетом их кратности!) можно определить, не находя j_раз(p), непосредственно по полюсам элементов W _ij (p). Но при этом коэффициент кратности каждого корня будет равен рангу вычета матрицы W (p) в соответствующем полюсе. Наиболее просто это сделать, когда полюс некратный.

Дата добавления: 2014-01-11