Полярные координаты

Положение точки на плоскости определяется двумя полярными координатами r и j, которые связаны с прямоугольными координатами х и у следующими формулами:

x = r cos j,

y = r sin j, где 0 £ j < 2p.

.

Рисунок 2.4.4

Следовательно, формула замены переменных принимает вид:

При этом если область D соответствует рисунку 2.4.5, то

;

если область D соответствует рисунку 2.4.6, то

.

Рисунок 2.4.5 Рисунок 2.4.6

2.5 Лекция 9. Тройные интегралы

Содержание лекции: Тройной интеграл и его свойства. Вычисление тройных интегралов в прямоугольных координатах. Замена переменных в тройном интеграле.

Цели лекции: знакомство с тройным интегралом, его свойствами и техникой вычисления.

Пусть f (x, y, z) – непрерывная функция, определенная в трехмерной области V, ограниченной замкнутой поверхностью S.

Разобьем область V произвольным образом на п элементарных областей:

D v₁, D v₂, D v₃, …, D v_п.

Каждую область отождествим с ее объемом.

Выберем в каждой области произвольную точку Р_i Î D v _i (), и сопоставим ей значение f (P_i). Составим сумму: .

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) в области V.

Предположим, что diam D v_i ® 0 при n ® ¥. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области V,

то .

Этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на D v_i , ни от выбора Р_i Î D v_i.

Этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y, z) в области V и обозначается: или .

Физический смысл тройного интеграла:

если f ³ 0 в области V, то можно считать, что f (x, y, z) – плотность распределения некоторого вещества в области V. Тогда тройной интеграл численно равен массе вещества, заключенного в области V.

Дата добавления: 2014-01-11