Для обчислення границь використовують

Властивості границі

Нехай а – довільне число і припустимо, що існують границі

1.

Якщо f(x)=g(x) всюди, крім точки х=а, то

2.

Для довільної сталої С

3.

Для довільної сталої С

4.

5.

6. Якщо

7. Якщо

Приклад 8. Обчислимо деякі границі

Нехай f позначає функцію. Похідною функції f в точці x називають вираз

якщо границя існує.

Припустимо, що на мал.14 h=1. Тоді значення f(x+h)-f(x) вимірює на скільки одиниць піднялася (опустилася) функція, коли значення х зросло на одну одиницю. Можна сказати, що похідна вимірює швидкість зростання (спадання) функції в конкретній точці. Тому, якщо функція піднімається (опускається) крутіше в одних точках, то похідна має більше значення в цих точках, ніж в точках, де функція веде себе більш пологіше. Оскільки формула в означенні похідної є досить громіздкою для обчислення, то похідні найвідоміших функцій визначають з таблиці:

Таблиця найпростіших похідних

Для обчислення похідних функцій користуються правилами:

Основні правила обчислення похідних

Приклад 9. Обчислимо похідні деяких функцій

Нехай y=f(x) довільна функція. Диференціалом функції f називають вираз

Розглянемо застосування поняття похідної в теорії фірми. Якщо фірма виготовляє та продає x одиниць продукції, то її витрати, дохід та прибуток математично можна записати у вигляді функцій C=C(x), R=R(x), P=P(x) відповідно. Похідні функцій витрат, доходу та прибутку називаються граничними (або маржинальними) функціями. Тому

позначають функції граничних витрат, граничного доходу та граничного прибутку відповідно. Економічне трактування функції граничних витрат таке: граничні витрати в точці x=a дорівнюють приблизним додатковим витратам фірми від виробництва однієї додаткової одиниці продукції, якщо на даний момент фірма вже виготовляє a одиниць продукції. Іншими словами, MC(а) визначає додаткові витрати від виробництва (а+1)-ої одиниці продукції. Подібно визначають поняття граничного доходу та граничного прибутку.

Приклад 10. Нехай функції витрат, доходу та прибутку фірми мають вигляд

С(x)=x²+500 000, R(x)=1500x, P(x)=1500x-x²-500 000.

Тоді функції граничних витрат, доходу та прибутку зображені рівняннями

МС(x)=2x, МR(x)=1500, МP(x)=1500-2x

відповідно. Оскільки МС(600)=2*600=1200, то це означає, що на виробництво 601-ої одиниці фірма витратить додатково приблизно $1200. Подібно, якщо МR(600)=1500, то від продажу 601-ої одиниці фірма додатково отримає приблизно $1500 (справді, від продажу 601-ої одиниці фірма отримає точно $1500, бо така ціна одиниці продукції). Також, приблизний додатковий прибуток від виробництва та продажу 601-ої одиниці продукції становить МP(600)=1500-2*600=$300.

Дата добавления: 2014-01-11