Тема 7. Матриці. Визначники

Часто при початковому описі задачі набір числових даних зручно записувати у вигляді прямокутної таблиці. Так і з’явилися матриці. Зараз можна сказати, що матриця є одним з основних математичних понять, що має велику кількість цікавих та корисних властивостей.

Матрицею А розміром m*n називають набір m*n чисел а_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)- елементів матриці, записаних у вигляді прямокутної таблиці

Набір

називається і-им рядком матриці А, а набір

j-им стовпчиком матриці А. У випадку, коли m=n, то матриця називається квадратною, а число n – її порядком.

Матриці представляють дуже зручний спосіб запису кількісної інформації, і тому їх використовують в різних ситуаціях.

Приклад 48. Продавець, що продає морозиво, зранку продала 36 порцій пломбіру: 8 порцій в стаканчику, 10 порцій в брикетах, 7 порцій в трубочках, 11 порцій в ріжках; в обідній період – 62 порції: відповідно 16, 15, 13, 18. Найбільший попит на морозиво виявився ввечері – 101 порція: 25, 21, 31 і 24 відповідно. Це можна компактно записати у вигляді таблиці

	Ранок	Обід	Вечір
Стаканчики
Брикети
Трубочки
Ріжки

Часто матриці виступають не лише в ролі носіїв інформації. З ними можна проводити різні операції, подібні до тих, які виконують з числами: матриці можна додавати, віднімати, множити та ін. Але ці операції потрібно проводити обережно, бо не всі матриці можна додавати, а з множенням ще складніша ситуація.

Нехай матриці A i B мають одинакові розміри (тобто складаються з одинакової кількості рядків та стовпчиків),

Тоді сумою матриць A та B називають матрицю С, елементи якої є сумою відповідних елементів матриць A та B, тобто

Аналогічно визначаємо різницю матриць A та B

З визначення суми та різниці матриць видно, що для того, щоб додати чи відняти матриці, вони обов’язково повинні бути одинакових розмірів (мати одинакову кількість рядків та стовпчиків).

Приклад 49. Розглянемо умову прикладу 48. У ньому задано продаж морозива різного виду зранку, в обід та ввечері. Припустимо, що іншого дня розподіл продажу морозива виглядає наступним чином

	Ранок	Обід	Вечір
Стаканчики
Брикети
Трубочки
Ріжки

Продаж першого дня можна коротко записати у вигляді матриці П₁

а продаж другого дня у вигляді матриці П₂

Продаж за два дні кожного виду морозива вранці, в обід та ввечері можна знайти як суму матриць П₁ та П₂

Отже, за два дні було продано: зранку (75 порцій) – 20 порцій морозива в стаканчику, 21 поцію в брикетах, 16 порцій в трубочках і 18 порцій в ріжках; в обід (119 порцій) – відповідно 28, 30, 23 та 38 порцій; ввечері (203 порції) – відповідно 55, 41, 56 та 51 порція.

Нехай матриця A має вище вказаний вигляд. Тоді визначимо операцію множення числа k на матрицю А. Добутком числа k та матриці А називають матрицю F, елементи якої рівні відповідним елементам матриці А, помножених на число k.

Тобто

Як одним з випадків, при множенні матриці А на число k=0 отримаємо матрицю, всі елементи якої рівні нулю. Це так звана нульова матриця, що має вигляд

Приклад 50. Матриця виплат

в результаті деномінації має вигляд

Нехай матриця А має вище вказаний вигляд, а

стовпчик висотою n.
Добуток матриці А на стовпчик х визначимо так:

Зауважимо, що матрицю можна множити не на довільний стовпчик, а лише на такий, кількість елементів якого дорівнює кількості стовпчиків матриці.

Приклад 51. Знову повернемося до прикладу 48 і підрахуємо виручку, знаючи ціну кожного виду морозива: 3,0 грн. коштує морозиво в стаканчику, 1,5 грн. – морозиво в брикеті, 2,0 грн. – морозиво в трубочці, 2,5 грн. – морозиво в ріжку. При таких цінах ранкова виручка становить

8*3,0+10*1,5+7*2,0+11*2,5=80,5 грн.,

обідня

16*3,0+15*1,5+13*2,0+18*2,5=141,5 грн.,

і вечірня

25*3,0+21*1,5+31*2,0+24*2,5=228,5 грн.

Ті ж самі результати можна отримати, перемноживши матрицю продажів на стовпчик цін

Нехай

рядок з m елементів і матриця А вище визначена. Добуток рядка p на матрицю А визначимо як

Зауважимо, що рядок має бути таким, щоб кількість його елеменів дорівнювала кількості рядків матриці.

Якщо матриці А (розміром m*n) та B (розміром n*k) вище вказані, то добуток матриць А та В визначимо як

Матриці А та В повинні бути такими, щоб кількість стовпчиків першої матриці дорівнювала кількості рядків другої матриці. Умовно перемножити матриці означає помножити кожен рядок першої матриці на кожен стовпчик другої матриці. Перемноживши матрицю розміром (m*n) та матрицю розміром (n*k), отримаємо матрицю розміром (m*k). Ще зауважимо, що при множенні матриць має значення порядок множення, тобто не завжди АВ=ВА. Особливою є так звана одинична матриця, що має вигляд

Одинична матриця є важливою через те, що добутком довільної матриця А і одиничної матриці є сама матриця А.

Приклад 52. Добутком двох матриць

є матриця

Для матриці важливою характеристикою є визначник. Визначником матриці називають число, яке визначають за певним правилом. Визначник можна обчислити лише для квадратних матриць. Нехай матриця А другого порядку має вигляд

Тоді визначник матриці А рахуємо за формулою

Суцільною лінією позначено головну діагональ, а розривною – побічну діагональ. Якщо матриця А є матрицею третього порядку, тобто має вигляд

то її визначник можна визначити за формулою

Приклад 53. Обчислимо деякі визначники

Дата добавления: 2014-01-11