Тема 6. Функції багатьох змінних

Функції, які розглядалися до сих пір, є функціями однієї змінної, тобто залежать лише від однієї незалежної змінної. Однак, часто розглядають функції, що залежать більше, ніж від однієї змінної. Для прикладу, фірма виготовляє два товари. Її загальні витрати будуть залежати від кількості одиниць х першого товару і кількості одиниць у другого товару, що виробляє фірма. Тому, загальні витрати фірми можна задати у вигляді функції двох змінних х та у. Такі функції називають функції багатьох змінних.

Функція

f(x,y)=x²+2xy+5y

визначає функцію двох змінних. Область визначення функції багатьох змінних f є множина пар (a,b), де a і b є числами, щоб мав зміст вираз f(a,b).

Приклад 36. Нехай

f(x,y)=x²+2xy+5y.

Тоді

f(0,0)=0²+2*0*0+5*0=0,

f(-1,2)=(-1)²+2*(-1)*2+5*2=7,

f(4,y)=4²+2*4*y+5*y=16+13y,

f(x+1,b)=(x+1)²+2*(x+1)*b+5*b=

=x²+2x+1+2xb+2b+5b=

=x²+2(b+1)x+7b+1,

і т.д.

Приклад 37. Припустимо, що магазин продає два товари, Х та Y, і ціна продажу на один товар не залежить від ціни продажу на інший. Якщо кожну одиницю товару Х продають по ціні $15, а кожну одиницю товару Y по ціні $20, то дохід магазину від продажу х одиниць першого товару та у одиниць другого товару становить

R(x,y)=15x+20y

доларів.

Приклад 38. Припустимо, що фірма продає два види обігрівачів електричні та масляні. Через х позначимо ціну одиниці електричного обігрівача, а через у - ціну одиниці масляного. Попит на окремий вид обігрівача може залежати від ціни цього обігрівача та ціни іншого виду обігрівача. Тому, якщо Е позначає попит на електричні обігрівачі, то Е може залежати від х та у. Для прикладу,

Е(х,у)=-100х+500у+10000.

Тоді, якщо електричні обігрівачі продають по ціні $40, а масляні по ціні - $60, то попит на електричні обігрівачі буде

Е(40,60)=-100*40+500*60+10000=36000

одиниць.

Проаналізуємо функцію попиту на електричні обігрівачі

Е(х,у)=-100х+500у+10000.

Якщо ціна на масляні обігрівачі залишиться фіксованою, y=b, то попит на електричні обігрівачі становить

Е(х,b)=-100х+500b+10000.

Отже, кожне зростання ціни електричного обігрівача на $1 приведе до падіння кількості проданих електричних обігрівачів на 100 одиниць. Іншими словами, якщо ціна масляних обігрівачів залишається фіксованою, то зростання ціни на електричні обігрівачі веде до падіння попиту на цей вид товару. З іншої сторони, якщо ціна на електричні обігрівачі залишається фіксованою, х=а,

Е(а,y)=-100а+500у+10000

показує, що кожне зростання на $1 ціни на масляні обігрівачі призводить до зростання попиту на електричні обігрівачі на 500 одиниць. Отже, якщо ціна на електричні обігрівачі залишається фіксованою, а на масляні зростає, то зростає кількість проданих одиниць електричних обігрівачів.

Якщо функція однієї змінної має похідну по своїй незалежній змінній, то функція багатьох змінних, має кілька похідних по кожній зі своїх незалежних змінних. Похідні функції багатьох змінних називаються частковими похідними. Функція двох змінних має дві часткові похідні. Нехай f позначає функцію двох змінних х та у. Тоді,

-

часткову похідну функції f по змінній х позначаємо f_x або

і знаходимо, обчисливши похідну функції f по х, вважаючи, що у є сталою;

-

часткову похідну функції f по змінній у позначаємо f_у або

і знаходимо, обчисливши похідну функції f по у, вважаючи, що х є сталою;

Часткові похідні для функцій більше, ніж двох змінних знаходимо аналогічно.

Приклад 39. Знайдемо часткові похідні f_x та f_y функції

f(x,y)=x²+y²+2x+3y.

Щоб знайти f_x треба знайти похідну функції f, припустивши, що у є сталою. Для цього знайдемо

f(x,c)=x²+c²+2x+3c,

а тепер обчислимо похідну функції, яка містить лише одну незалежну змінну х

f_х=2x+0+2+0=2х+2.

Аналогічно знайдемо похідну f_у, визначивши спочатку

f(с,y)=с²+y²+2с+3y,

і обчисливши похідну функції, що залежить лише від змінної у

f_у=0+2y+0+3=2у+3.

Приклад 40. Знайдемо часткові похідні функції трьох змінних

g(x,y,z)=5x+3xy-2x²z+y².

Знайдемо g_x, вважаючи, що змінні y та z є сталими (але різними). Тоді,

g(x,c₁,c₂)=5x+3c₁x-2c₂x²+c₁²

g_x=5+3c₁-4c₂x+0

або

g_x=5+3y-4xz.

Аналогічно

g_y=3x+2y, g_z=-2x².

Нехай f є функція багатьох змінних і x позначає одну з незалежних змінних функції f. Тоді f_x визначає миттєвий показник зміни функції f відносно змінної х, коли всі інші незалежні змінні є фіксованими. Тому, коли всі інші незалежні змінні функції f є фіксованими, то мала зміна значення х призводить до зміни значення функції f приблизно на величину f_x.

Приклад 41. Припустимо. що фірма виготовляє і продає х одиниць товару А, у одиниць товару В, z одиниць товару С, і її прибуток задано рівнянням

P(x,y,z)=2x²+5y³+4z²+xyz

доларів. Тоді

P_x(x,y,z)=4x+yz

є граничний дохід фірми відносно першого товару. Якщо y та z залишаються фіксованими, то кожна додаткова одиниця товару А, вироблена та продана, приводить до зростання прибутку фірми приблизно на

4x+yz

доларів. Для прикладу, якщо x=6, y=10, z=12, то прибуток фірми становить

P(6,10,12)=2*6²+5*10³+4*12²+6*10*12=$6378.

Якщо y та z залишаються фіксованими на рівні у=10, z=12, то виготовлення та продаж додаткової одиниці товару А (7-ої) збільшить прибуток приблизно на

P_x(6,10,12)=4*6+10*12=$144.

Аналогічно, оскільки

P_y(x,y,z)=15y²+xz і P_z(x,y,z)=8z+xy,

то, вважаючи, що х та z залишаються фіксованими на рівні х=6, z=12, вироблення та продаж додаткової одиниці товару В (11-ої) призведе до зростання прибутку приблизно на

P_y(6,10,12)=15*102+6*12=$1572.

Залишаючи фіксованими х та у на рівні 6 та 10 відповідно, вироблення та продаж додаткової одиниці товару С (13-ої) збільшить прибуток приблизно на

і P_z(6,10,12)=8*12+6*10=$156.

Однак, якщо фірма зараз виготовляє 6 одиниць товару А, 10 одиниць товару В та 12 одиниць товару С і має обмежені ресурси для розширення виробництва, то розумно використовувати ці ресурси на зростання виробництва товару В, бо додаткова одиниця цього товару приносить найбільший прибуток.

Часткові похідні використовують для дослідження товарів на взамозамінність та взаємодоповнювальність. Два товари називають взаємозамінними, якщо падіння попиту на один з них призводить до зростання попиту на інший. (Для прикладу, яловичина та свинина. Якщо ціна на яловичину зростає, поки ціна на свинину залишається сталою, попит на яловичину падає, а попит на свинину зростає, бо покупці заміняють яловичину свининою.) З іншої сторони, якщо падіння попиту на один товар призводить до падіння попиту на інший товар, то товари називають взаємодоповнюючими. (Прикладом можуть бути автомобілі та шини.) Можна визначити, чи товари є взаємозамінні чи взаємодоповнюючі, аналізуючи часткові похідні їхніх функцій попиту.

Приклад 42. Припустимо, що ціна на масло є х доларів за 1 кілограмм, а ціна на маргарин – у доларів за 1 кілограмм. Функції попиту на масло та маргарин задані відповідно рівняннями

B(x,y)=10000-200x+400y і M(x,y)=8000+300x-500y.

Тоді,

B_x=-200, B_y=400, M_x=300, M_y=-500.

Тепер проаналізуємо часткові похідні. Часткова похідна В_х є від’ємною, бо зростання ціни на масло, поки ціна на маргарин є фіксованою, веде до падіння попиту на масло. Але М_х є додатня, бо зростання ціни на масло, поки ціна на маргарин є сталою, призводить до зростання попиту на маргарин. Аналогічно, М_у є від’ємною, а В_у є додатною, бо зростання ціни на маргарин, поки ціна на масло є фіксованою, веде до падіння попиту на маргарин та зростання попиту на масло. Тому, масло та маргарин є взаємозамінними товарами.

Приклад 43. Якщо фірма використовує х людино-годин та у доларів капіталу на тиждень, то вона може виготовити

Q(x,y)=0,1x^3/4y^1/2

одиниць продукції на тиждень. Таким чином визначена функція, що пов’язує кількість виготовленої продукції та кількість затрачених ресурсів, називається виробнича функція. В цьому випадку, якщо фірма має 1296 людино-годин і $2500 капіталу цього тижня, то вона може виготовити

Q(1296,2500)=0,1*1296^3/4*2500^1/2=1080

одиниць. Часткова похідна f_x називається граничною продуктивністю праці, а часткова похідна f_y – граничною продуктивністю капіталу. Тут

f_x(x,y)=0,075x^-1/4y^1/2 i f_y(x,y)=0,05x^3/4y^-1/2.

Тому, якщо х=1296,а у=2500, то

f_x(1296,2500)=0,075*1296^-1/4*2500^1/2=0,0625,

f_y=(1296,2500)=0,05*1296^3/4*2500^-1/2=0,216.

Якщо капітал залишається фіксованим на рівні $2500 на тиждень, то використання додаткової людино-години кожного тижня приведе до зростання виробництва приблизно на 0,625 одиниць на тиждень. Якщо використання робочої сили залишається фіксованим на рівні 1296 людино-годин на тиждень, то використання додаткового долара капіталу результує зростання виробництва приблизно на 0,216 одиниць на тиждень.

Як і для функції однієї змінної для функцій багатьох змінних визначають екстремум за допомогою похідної. Перед тим, як розглянути, екстремум функції багатьох змінних, визначимо часткові похідні вищих порядків. Частковою похідною другого порядку називають часткову похідну від похідної (а не від функції). Для прикладу, щоб визначити похідну f_xx, треба спочатку визначити часткову похідну по змінній х - f_x і від неї обчислити часткову похідну по змінній х – f_xx=(f_x)_x. Подібно, для визначення часткової похідної f_xy, потрібно визначити часткову похідну f_x і від неї – похідну по змінній у, тобто f_xy=(f_x)_y. Аналогічно визначають часткові похідні третього, четвертого і т. д. порядків. Зрозуміло, що для визначення часткових похідних вищих порядків потрібно мати відомими часткові похідні всіх попередніх порядків.

Приклад 44. Визначимо всі часткові похідні другого порядку та деякі похідні третього порядку для функції

F(x,y)=x³+y³-3x²y.

Отже,

F_x(x,y)=3x²-6xy, F_y(x,y)=3y²-3x²,

F_xx=(3x²-6xy)_x=6x-6y, F_xy(x,y)=(3x²-6xy)_y=-6x,

F_yx(x,y)=(3y²-3x²)_x=-6x, F_yy(x,y)=(3y²-3x²)=6y,

F_xxx(x,y)=(F_xx)_x=(6x-6y)_x=6, F_xyx(x,y)=(F_xy)_x=(-6x)_x=-6, F_yxy(x,y)=(F_yx)_y=(-6x)_y=0 і т.д.

Визначимо, що означає для функції двох змінних існування відносного максимума чи відносного мінімума. Якщо функція f в точці (а,b,f(a,b)) має пік, то говорять, що функція f в точці (a,b,f(a,b)) має відносний максимум. Приклад відносного максимума функції зображено на мал. 28.

Аналогічно, якщо функція двох змінних f в точці (a,b,f(a,b)) має дно, то кажуть, що в цій точці функція f має відносний мінімум. Якщо функція f має відносний максимум (або мінімум) в точці (a,b,f(a,b)) і існують f_x(a,b), f_y(a,b), то

f_x(a,b)=0 і f_y(a,b)=0.

Отже, з вище вказаних рівностей можна знайти точки, в яких функція f може мати відносний максимум чи мінімум. Але знати, що x=a і y=b є розв’язками рівнянь f_x(a,b)=0, f_y(a,b)=0, не достатньо, щоб сказати, що в точці (a,b,(a,b)) досягається відносний максимум чи мінімум. Для визначення чи точка є точкою відносного максимума чи мінімума використовують часткові похідні другого порядку. Тому, визначимо

процедуру знаходження відносного екстремума функції f:

- знаходимо часткові похідні f_x, f_y, f_xx, f_xy, f_yx, f_yy

- розв’язуємо рівняння f_x=0, f_y=0 відносно змінних х та у, тобто знаходимо пари чисел (a,b) таких, що f_x(a,b)=0, f_y(a,b)=0

- визначимо число D(x,y)=f_xxf_yy-f_xyf_yx. Тоді

а) якщо D(a,b)>0 i f_xx(a,b)<0, то функція має відносний максимум в точці (a,b,f(a,b))

б) якщо D(a,b)>0 i f_xx(a,b)>0, то функція має відносний мінімум в точці (a,b,f(a,b))

в) якщо D(a,b)<0, то функція не має відносного екстремума

г) якщо D(a,b)=0, то даний метод не дає відповідь про існування екстремума

Приклад 45. Якщо фірма виготовляє та продає х одиниць першого товару та у одиниць другого товару, то функція її прибутку задана формулою

P(x,y)=20x+30y-2x²-3y².

Знайти найбільший прибуток фірми та кількість одиниць першого та другого товарів, яку при цьому треба виготовити.

Для дослідження функції прибутку на максимум потрібно знайти перші часткові похідні і прирівняти їх до нуля

P_x(x,y)=20-4x, P_y(x,y)=30-6y;

Отже, в точці (5,5) функція може мати відносний максимум. Для перевірки використаємо часткові похідні другого порядку. Оскільки,

P_xx(x,y)=-4<0, P_yy(x,y)=-6, P_xy(x,y)=P_yx(x,y)=0,

i

D(x,y)=-4*(-6)-0*0=24>0,

то функція прибутку в точці (5,5) має максимум, який дорівнює

P_max=P(5,5)=20*5+30*5-2*52-3*52=$125.

Отже, максимальний прибуток, який фірма може отримати, рівний $125. При цьому фірмі треба виготовити 5 одиниць першого товару та 5 одиниць другого товару. Будь-яка інша комбінація виготовленої продукції принесе фірмі менше ніж $125 прибутку.

Часто потрібно знайти максимум чи мінімум функції, якщо при цьому на змінні накладаються додаткові умови, або так звані обмеження. Прикладом може бути задача на знаходження максимального доходу, якщо фірма має обмежені ресурси. Екстремум при певному обмеженні називається умовним екстремумом.

Приклад 46. Функцію

f(x,y)=x²+y²

дослідимо на мінімум при умові

x+y-2=0.

В цьому випадку в обмеженні x+y-2=0 можна легко виразити змінну у через

змінну х, тобто у=-х+2, і цей вираз підставимо в функцію замість змінної у

f(x)=x²+(-x+2)²=2x²-4х+4.

Тепер функція f є функцією лише однієї змінної х і ми можемо використати процедуру для знаходження максимума функцієї однієї змінної. Для цього знйдемо похідну

f’(x)=4x-4

і прирівняємо її до нуля

4х-4=0, х=1.

Відмітимо цю точку на числовій прямій і визначимо знак похідної на утворених проміжках, як показано на мал.29.

Отже, точка х=1 є точкою мінімума і

f_min=f(1)=2*1²-4*1+4=2.

Отже, функція f(x,y) приймає мінімальне значення 2 при х=1 та у=-1+2=1.

Але умови обмеження можуть бути дуже складними і деколи неможливо виразити змінну у через х, чи навпаки. В цих випадках використовують так званий метод множника Лагранжа. Для довільної функції z=f(x,y) потрібно знайти максимальне чи мінімальне значення, щоб задовольнялася умова g(x,y)=0. За цим методом запишемо функцію Лагранжа

F(x,y,v)=f(x,y)+v*g(x,y).

Змінна v називається множником Лагранжа і розглядається як третя змінна функції Лагранжа. Функція Лагранжа включає і функцію, яку досліджуємо на екстремум, і умову обмеження. Новоутворену функцію досліджуємо на відносний екстремум, який одночасно буде умовним екстремумом для функції f.

Приклад 47. Розглянемо завдання прикладу 46. Для дослідження функції за методом Лагранжа побудуємо функцію Лагранжа

F(x,y)=x²+y²+v(x+y-2),

яку дослідимо на відносний мінімум. Знайдемо перші похідні

F_x(x,y)=2x+v, F_y(x,y)=2y+v, F_v(x,y)=x+y-2,

прирівняємо їх до нуля і розв’яжемо утворену систему рівнянь

Отже, точка (1,1) є підозрілою на точку екстремума. Перевіримо, чи є вона точкою мінімума. Оскільки

f_xx(x,y)=2>0, f_yy(x,y)=2, f_xy(x,y)=f_yx(x,y)=0,

D(x,y)=2*2-0*0=4>0,

то в точці (1,1) функція f має найменше значення

f_min=f(1,1)=1²+1²=2.

Як видно, результат цього прикладу та прикладу 46 є одинаковими. Якщо в умові обмеження можна визначити одну змінну через іншу, то розв’язуємо першим способом, в протилежному випадку використовуємо метод Лагранжа.

Дата добавления: 2014-01-11