Фононы. Распределение бозе-эйнштейна

По кристаллической решетке (и не только металлов) иогут двигаться не только электроны. В соответствии с классической физикой, кристалл, состоящий из N атомов, является системой с 3 N колебательными степенями свободы, на каждую из которых приходится в среднем энергия kT. Однако квантовая механика дает иной результат для средней энергии.

Рассмотрим вначале колебания одного независимого гармонического осциллятора.

Ранее было показано, что его энергия принимает значения

n = 0, 1, 2, … (17)

Найдем его среднюю энергию. Полагая, что распределение совокупности независимых осцилляторов по состояниям с разной энергией подчиняется распределению Больцмана, для получаем выражение

(18)

Похожее уравнение получил Планк для спектральной плотности теплового излучения АЧТ. Отличие только во втором слагаемом, определяющем энергию «нулевых» колебаний. Для расчета первого слагаемого в выражении (18) введем переменную . Тогда выражение (18) можно преобразовать к более простому виду:

(19)

Выполнив дифференцирование по α, получим выражение для средней энергии осциллятора

(20)

При достаточно больших температурах второе слагаемое стремится к kT (именно это и дает классическая теория).

Включим теперь взаимодействие между атомами. Для оценки взаимодействия между атомами воспользуемся выводом из теории колебания струн: произвольные колебания струны являются суперпозицией (наложением) гармонических стоячих волн. То есть каждому колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела. Частоты этих колебаний (ω _i) имеет дискретный спектр. Таким образом, энергия колебаний кристаллической решетки U может быть представлена как сумма энергий отдельных колебаний:

(21)

Здесь n_i – главное квантовое число, нумерующее состояние с частотой ω _i; N – число колеблющихся атомов. За вычетом энергии нулевых колебаний энергия каждого колебания частоты ω _i слагается из порций величины ε _i = ħ ω _i.

Эта порция (квант) принадлежит частице, называемой фононом (не путать с фотоном). Кроме энергии фононы обладают также импульсом

Здесь k – волновое число соответствующего колебания.

Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией ħ ω и импульсом Однако в отличие от обычных частиц (электроны, фотоны) фонон не существует в вакууме. Фонон – это колебание атомов и для его возникновения и существования нужна некоторая среда. Поэтому его часто называют «квазичастицей» (как-будто бы частицей).

Найдем среднее число фононов частоты ω _i. Для этого усредним энергию фононов:

(22)

Аналогично выше проделанным математическим операциям находим

(23)

Откуда находим

(24)

Данное соотношение и представляет собой распределение фононов по энергии. Кванты электромагнитного поля (фотоны) также подчиняются подобному распределению. Из этой формулы следует, что в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одинаковых фононов. Отсюда следует, что на фононы принцип Паули не распространяется. Но фононы и фотоны подчиняются одной и той же статистике. Но есть и существенное различие: фотоны – истинные частицы, фононы – квазичастицы. Полученное распределение представляет собой частный случай распределения Бозе – Эйнштейна, которому подчиняются частицы, обладающие целочисленным спином:

(25)

где - среднее число частиц, находящихся в состоянии с энергией E_i; μ – химический потенциал (μ < 0), определяемый из условия N – полное число частиц в системе. Для фотонов и фононов химический потенциал μ равен нулю. Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называются бозонами. Для них характерно то, что вероятность рождения в состоянии, в котором уже имеется n частиц, пропорциональна числу частиц, т.е. бозоны в отличие от фермионов являются «коллективистами».

Дата добавления: 2014-01-11