Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат. Вводятся цилиндрические координаты r, j, h. x = r cosj

Цилиндрическая система координат.

Вводятся цилиндрические координаты r, j, h. x = r cosj, y = r sinj, z = h. Вычислим якобиан

Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью и эллиптическим параболоидом ..

j x j q r z y

Сферические координаты j, r, q. x = r sinq cosj y= r sinq sinj z = r cosq. Вычислим якобиан

Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.

Приложения тройного интеграла.

Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.

По свойству 3 тройного интеграла , где – объем области V.

С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.

Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и шаром (единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))

.

Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом (- плотность вещества тела в каждой точке).

, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )

Пример. Определить координаты центра тяжести полушара , По симметрии . ,

Контрольные вопросы:

1. Замена переменных в тройном интеграле.

2. Якобиан перехода.

3. Цилиндрическая система координат.

4.Сферическая система координат.

5. Приложения тройного интеграла.

Литература

1. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - 9-е изд. - М.: Физматлит, 2003. - 800 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил

4. Ильин В.А. Математический анализ: учебник: в 2 ч. Ч. 2/ В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов; под ред. А.Н. Тихонова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби; М.: Проспект, 2004. - 368 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс Т.1. - 2002. - 416 с.: ил.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс Т.2. - 2002. - 544 с.: ил.

7. Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. пособие для вузов/ Шипачев В.С.. - М.: Высшая школа, 2003. – 176с

Дата добавления: 2014-01-11