Основные характеристики рядов распределения

Наряду со средними величинами, рассмотренными в предыдущей

теме 5, в качестве характеристик вариационных рядов, рассчитываются, так называемые, структурные (описательные) средние - мода и медиана.

Модой () в статистике называется наиболее часто встречающееся значение признака (варианта) в совокупности. В дискретном вариационном ряду модой является вариант, обладающий наибольшей частотой. Так, по данным табл.1 видно, что больше всего студентов, получивших на экзамене 4. Следовательно, модальное значение изучаемого признака - 4.

Для определения моды в интервальных вариационных рядах сначала отыскивается модальный интервал, то есть интервал, обладающий наибольшей частотой (в рядах с неравными интервалами - по наибольшей плотности распределения). Формулы моды для вариационных рядов с равными интервалами имеет вид:

, где

- начало (нижняя граница)модального интервала, т.е. интервала с

наибольшей частотой;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- частота послемодального интервала;

- ширина интервала.

Медианой () в статистике называется значение признака у той единицы совокупности, которая расположена в середине упорядоченного (ранжированного) ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее.

Главное свойство медианы состоит в том, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической):

.

Медиану, являющуюся описательной характеристикой вариационного ряда, иногда называют непараметрической средней. Медиана меньше, чем средняя арифметическая, она зависит от формы распределения признака.

В дисретных рядах порядковый номер медианного варианта определяется как (n + 1)/2 (для ряда с нечетным числом n) или как среднее значение двух средних вариантов, имеющих порядковые номера n/2 и n/2+1 (для ряда с четным числом n).

Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения медианного интервала. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает полусумму частот ряда. После этого значение медианы вычисляется путем линейной интерполяции по формуле:

, где

- начало (нижняя граница) медианного интервала;

- сумма частот, накопленных до медианного интервала;

- сумма частот всего вариационного ряда;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала.

По приведенному выше ряду распределения (табл.) медианным интервалом является интервал, в который попадают два центральных наблюдения (и), т.е. интервал. Значение медианы составило:

При изучении структуры вариационного ряда, кроме медианы, используются также другие квантили: квартили, делящие ряд по сумме частот на 4 равные части, децили - на 10 равных частей и другие. Квартилей насчитывается 3, а децилей - 9. Расчет этих показателей в интервальном вариационном ряду аналогичен расчету медианы. Формула для квартилей в интервальных вариационных рядах имеет вид:

, где

- номер квартиля;

- нижние границы соответствующих квартильных интервалов;

- сумма частот ряда;

- накопленная частота интервала, предшествующая соответствующим

квартильным интервалам;

- частоты соответствующих квартильных интервалов;

- величины соответствующих квартильных интервалов.

Дата добавления: 2014-01-11