Примеры. Подпоследовательности

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность , где (k_n) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

· Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

· Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства:

· Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

· Для всякой подпоследовательности верно, что .

· Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

· Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

· Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

· Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

· Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Дата добавления: 2014-01-13