Производные высших порядков. Пусть − дифференцируемая функция

Пусть − дифференцируемая функция. Производная также является функцией от . Ее производная , если она существует, называется производной второго порядка и обозначается , или , или . Аналогично , ,… Производной −го порядка функции называется производная от производной −го порядка:

.

Пример. Найти формулу для производной −го порядка функции .

Решение.

Рассмотрим обобщение формулы . Пусть функции , имеют производные −го порядка.

Справедлива следующая формула Лейбница:

Эту формулу нетрудно проверить методом математической индукции.

Пример. Найти производную для функции .

Решение. Положим и применим формулу Лейбница:

Воспользуемся предыдущим примером:

,

.

Кроме того, . Поэтому .

Дата добавления: 2014-01-13