Условие нормировки выражается соотношением

. (4.23)

Ортогональность обеспечивается при выполнении равенств

. (4.24)

Если хотя бы одно из условий (4.22)... (4.24) не выполняется, то это означает, что матрица ПФЭ составлена неверно.

Таблица 4.3 — Матрица плана ПФЭ при числе факторов k=2

Номер опыта
	—	—
	—	+
	+	—
	+	+

ПФЭ позволяет количественно оценить эффекты взаимодействия, то есть учесть один из видов нелинейности. Для определения коэффициентов при взаимодействии факторов, как будет показано далее, пользуются правилом умножения столбцов матрицы планирования.

Недостаток ПФЭ — из него нельзя извлечь информацию о квадратичных членах.

4.7.4. Планирование ПФЭ и его выполнение

Планирование ПФЭ с любым числом факторов k сводится к записи в матрицу всех неповторяющихся сочетаний уровней этих факторов. Чтобы сделать это быстро и безошибочно, рекомендуется такой прием (при варьировании факторов на двух уровнях). Записать числа от нуля до значения (— 1) в двоичной системе счисления, а затем цифре "нуль" поставить в соответствие знак "минус", а цифре "единица" — знак "плюс".

Пример. При значении k = 4 спланировать ПФЭ, предназначенный для получения линейной модели объекта.

Решение. Для получения модели вида (4.19) факторы достаточно варьировать на двух уровнях (—1; +1). Общее число опытов ПФЭ при k = 4 определится как N = 2⁴ = 16.

Запишем в таблицу числа от нуля до значения (2⁴ — 1 = 15) в двоичной системе счисления (таблица 4.4, А).

Таблица 4.4— Получение матрицы плана ПФЭ с помощью записи чисел в двоичной системе счисления

А	Б
Число 0... (N -1)	Разряд для фактора	Номер опыта
						—	—	—	—
						—	—	—	+
						—	—	+	—
						—	—	+	+
						—	+	—	—
						—	+	—	+
						—	+	+	—
						—	+	+	+
						+	—	—	—
						+	—	—	+
						+	—	+	—
						+	—	+	+
						+	+	—	—
						+	+	—	+
						+	+	+	—
						+	+	+	+

Заменив в полученной таблице (таблица 4.4, А) цифру "нуль знаком "минус", а цифру "единица" — знаком "плюс", получим требуемую матрицу ПФЭ (таблица 4.4, Б).

Нулевые уровни факторов выбирают обычно равными номинальным (средним) значениям, а интервалы варьирования — равными допускам (предельным отклонениям) соответствующих первичных параметров . Для первичных параметров радиоэлектронных устройств и технологических процессов обычно имеет место условие

где — отклонение (допуск) j -го первичного параметра от его номинального значения. Поэтому в большинстве практических случаев даже линейная часть модели вида (4.19) оказывается пригодной для дальнейшего инженерного анализа объектов исследования. Если линейная модель (линейная часть модели) оказывается непригодной, то ее дополняют членами вида , причем в модель включают наиболее значимые эффекты и снова проверяют пригодность модели.

Любой эксперимент сопровождается погрешностями (ошибками воспроизводимости). Для оценки воспроизводимости осуществляют параллельные опыты, то есть каждый i -й опыт матрицы планирования выполняют в конечном итоге несколько раз. Число серий m характеризует параллельность опытов матрицы планирования. Каждая серия должна включать N неповторяющихся опытов матрицы планирования. Число параллельных опытов или число серий опытов m рекомендуется выбирать из условия m > 2... 5.

Оценка воспроизводимости опытов по сути сводится к расчету так называемой дисперсии воспроизводимости. Если эта дисперсия известна априорно или же каким-либо способом может быть оценена до проведения эксперимента, то параллельные опыты не обязательны.

С целью уменьшения влияния детерминированных факторов при реализации плана ПФЭ проводят рандомизацию, то есть опыты каждой серии выполняют в случайной последовательности. Случайная последовательность опытов каждой серии должна выбираться по таблицам случайных чисел (таблица 7.1 б [ 12 ]). Делается это следующим образом. Выбирается произвольный участок таблицы случайных чисел и последовательно просматриваются его строки или столбцы с любого места. Последовательность проведения опытов назначается в соответствии с очередностью появления чисел 1,..., N при просмотре участка таблицы. Числа, большие по значению, чем номера опытов, пропускаются. Повторяющиеся числа учитываются лишь первый раз, а далее также пропускаются.

Пример. Для исследования влияния на выходной параметр технологического процесса двух факторов ( и ) используется ПФЭ типа "2²" (см. таблицу 4.3). Так как опыты трудоемки, принято решение: провести три серии параллельных опытов. Необходимо рандомизировать опыты каждой серии.

Решение. В таблице случайных чисел просмотрим однозначные случайные числа, принимая во внимание значения от 1 до 4 (так как в матрице всего 4 опыта). Просмотр начнем, например, с начала 1-й строки таблицы и будем двигаться по строкам. Нетрудно убедиться, что в первой серии опыт под номером 1 в матрице ПФЭ должен выполняться третьим. Аналогичным образом определяют очередность остальных опытов первой серии затем переходят к рандомизации опытов второй серии и т.д.

Полученная очередность опытов каждой серии с учетом рандомизации приведена в таблице 4.5.

Таблица 4.5 — Условие и очередность выполнения опытов ПФЭ типа ²² при k=2

Номер опыта			Очередность выполнения опытов
серия 1	серия 2	серия 3
	—	—
	—	+
	+	—
	+	+

Выполнение ПФЭ состоит в последовательном проведении опытов каждой серии. В пределах серии опыты выполняются в очередности, полученной в результате рандомизации.

Для проведения опыта исследователь должен для всех факторов принудительно установить такие их натуральные (в своей размерности) значения, которые соответствуют кодированным значениям этих факторов, указанным в матрице планирования для выполняемого опыта. После этого нужно измерить значение отклика и записать результат в ту строку, в соответствии с которой устанавливались уровни факторов.

4.7.5. Статистическая обработка результатов ПФЭ

Будем предполагать, что модель получают в виде выражения (4.19). Общий вид плана и результатов эксперимента приведен в таблице 4.6.

Таблица 4.6— Форма записи результатов опытов ПФЭ

Номер опыта		...		Значение отклика в параллельных опытах	M (yn)	D (yn)
1 серия	...	m -ая серия
					...
					...
...				...	...	..
N					...

Последовательность выполнения статистической обработки и проверки пригодности модели для практики:

1. Определяются среднее значение и дисперсия отклика в n -м опыте (строке) по формулам

, (4.25)

, (4.26)

где — значение отклика в n-м опыте (строке) i- й серии опытов (см. таблицу 4.6); m — число параллельных опытов (серий опытов);

2. Выполняется проверка однородности дисперсий D (y_n). Для этого определяется расчетное значение критерия Кохрена по формуле

. (4.27)

С критерием G _рас. связаны степени свободы: для числителя , для знаменателя .

Проверяется условие

G _рас.< G _кр., (4.28)

где G _кр. — критическое (табличное) значение критерия Кохрена, найденное для заданной доверительной вероятности g при числе степеней свободы и (таблица 4.3 б [ 11 ]).

Если условие (4.28) выполняется, то дисперсии однородны и статистическая обработка продолжается. Если оно не выполняется, то дисперсии неоднородны. В этом случае требуются дополнительные параллельные опыты, или же необходимо повысить точность задания значений факторов и измерения значения отклика;

3. Определяется дисперсия воспроизводимости опытов (отклика) по выражению

; (4.29)

4. Подсчитываются оценки коэффициентов по формулам

, (4.30)

; (4.31)

где — кодированные значения соответственно j -го и l-го факторов в n -м опыте (строке) матрицы плана;

5. Выполняется проверка значимости коэффициентов . Для выполнения проверки можно построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности g, для каждого коэффициента из числа .

(4.32)

где b _n — оценка коэффициента, рассчитанная по формулам (4.30), (4.31); D b — возможная ошибка, возникающая от замены истинного значения коэффициента его оценкой. Ошибка D b полагается одинаковой для всех коэффициентов:

, (4.33)

где — табличное значение критерия Стьюдента при доверительной вероятности g и числе степеней свободы f = N (m- 1), с которым определялась дисперсия D (y) (таблица 3.2 [ 11 ]).

Коэффициент (его расчетное значение) значим, если построенный доверительный интервал не содержит точку b = 0. В данном случае это равносильно условию

Если интервал содержит точку b = 0, или, что то же самое, , то коэффициент с доверительной вероятностью g не значим, так как отличным от нуля он мог оказаться за счет погрешностей эксперимента;

6. Принимая во внимание только значимые коэффициенты, записывается безразмерный полином вида (4.19)

,

Выполняется проверка адекватности этой модели и делается заключение о ее пригодности для практики. Для этого вначале подсчитывается дисперсия адекватности по формуле

(4.34)

где — разность между рассчитанным по полученной модели и экспериментальным значениями в n -й строке (опыте); d — число значимых коэффициентов построенной модели; — значение отклика по построенной модели в n -й строке (опыте).

Затем определяется расчетное значение критерия Фишера

. (4.35)

С критерием связаны степени свободы: для числителя ; для знаменателя = N (m — 1). Проверяется условие

F _рас. < F _кр., (4.36)

где — критическое (табличное) значение критерия Фишера, найденное для заданной доверительной вероятности g при числе степеней свободы и (таблица 3.5 [ 11 ]).

Если условие (4.36) выполняется, то построенная модель адекватна результатам эксперимента. При невыполнении этого условия модель неадекватна и пользоваться ею на практике нельзя;

7. Осуществляется переход к размерному полиному вида (4.18). Для этого необходимо в построенном полиноме вида (4.21) кодированные значения факторов заменить соотношениями (4.20) и выполнить необходимые преобразования.

Заключение об адекватности модели (4.21), сделанное в п.6, в равной степени относится и к модели вида (4.18). Поэтому можно вначале от модели (4.21) сделать переход к модели (4.18), а затем проверить ее адекватность. От этого вывод об адекватности модели не изменится.

Процесс статистической обработки результатов активных факторных экспериментов обычно выполняют на ЭВМ. Для лучшего понимания алгоритма статистической обработки в приложении В рассмотрен пример, в котором для иллюстрации использована обработка результатов "ручными" приемами.

4.7.6. Дробный факторный эксперимент

При малом числе факторов (k = 5) оправданы опыты с пере­бором всех возможных сочетаний уровней факторов, то есть полный факторный эксперимент. В ПФЭ без учета параллельных опытов N = 2 ^k.

С увеличением k число опытов N растет очень быстро. Так, например, при k = 10 число опытов N = 2¹⁰ = 1024. При исследо­вании параметров радиоэлектронных устройств и техноло­гических процессов число влияющих факторов может быть боль­ше 5... 7. Поэтому необходимо сократить число опытов за счет использования дробного (дискретный) факторного эксперимента (ДФЭ). При этом ко­личество информации об объекте исследования не должно теряться. Уменьшить число опытов можно за счет использования из­быточности ПФЭ. Число опытов в нем обычно больше, чем число значимых, интересующих исследователя коэффициентов.

Рассмотрим полином вида (4.19) при k = 3:

(4.37)

Матрица плана ПФЭ для получения этого уравнения приве­дена в таблице 4.7 (столбцы ).

Таблица 4.7— Матрица плана ДФЭ при k = 4

Номер опыта
	—	—	—	—
	—	—	+	+
	—	+	—	+
	—	+	+	—
	+	—	—	+
	+	—	+	—
	+	+	—	—
	+	+	+	+

Предположим, что при выбранных интервалах варьирования факторов связь между откликом и факторами описывается линейной моделью. В этом случае в уравнении (4.37) нелинейные члены , , , , характеризующие взаимодействие факторов, могут не учитываться.

Поэтому вместо одного из взаимодействий (например, ) в план ПФЭ может быть введен новый фактор (см. таблицу 4.7), причем знаки этого столбца должны соответствовать знакам произведения . Нетрудно установить, что полученная матрица (четыре фактора, восемь опытов) является половиной другого плана ПФЭ, а именно плана ПФЭ типа 2⁴, содержащего 16 опытов.

Таким образом, для оценки влияния четырех факторов можно воспользоваться половиной ПФЭ типа 2⁴ или, как говорят, полу репликой (1/2 реплики от ПФЭ типа 2⁴). Если за счет незначимых взаимодействий факторов вводятся дополнительно два новых фактора, например и , то полученный план будет уже представлять 1/4 часть от плана ПФЭ типа 2⁵ (так как в новом плане пять факторов). Какую именно четвертую часть представляет этот план, зависит от знаков столбцов и , определяемых знаками взаимодействий факторов , вместо которых вводятся новые факторы и . При большом числе факторов могут использоваться реплики более высокой дробности: 1/8, 1/16, 1/32 и т. д.

Эксперимент, который реализует часть ПФЭ, называют дробным факторным экспериментом. Дробные реплики принято обозначать как 2 ^k-p, где k — общее число факторов плана ДФЭ, а р — число факторов, введенных в план вместо незначимых взаимодействий. Так, например, дробная реплика, приведенная в таблице 4.7, запишется в виде 2^4-l.

ДФЭ предусматривает проведение меньшего числа опытов по сравнению с ПФЭ, что является экономически более целесооб­разным. Опытов тем меньше, чем более высокой дробности выби­рается реплика.

4.7.7 Планирование ДФЭ

Для получения плана ДФЭ сформулируем следующее правило: чтобы ввести в план исходного эксперимента новый фактор, не увеличивая числа опытов, его необходимо представить в виде вектор столбца, характеризующего такое взаимодействие исходных факторов, влиянием которого можно пренебречь. Значения фактора, введенного в план эксперимента, должны изменяться в соответствии со знаками этого столбца [1, 14, 15].

Правильно построенный план ДФЭ точно так же, как и план ПФЭ, должен обладать свойствами симметричности, нормировки и ортогональности, то есть для матриц плана должны выполняться условия (4.22)... (4.24).

Взаимодействие исходных факторов, вместо которого вводится новый фактор, принято называть генерирующим соотношением. В рассмотренном выше примере генерирующее соотношение равно .

Если исходные факторы образуют несколько малозначимых взаимодействий, то в план исходного эксперимента могут быть введены несколько новых факторов. В этом случае имеются несколько генерирующих соотношений.

В ДФЭ оценки коэффициентов модели оказываются смешанными. Для определения характера смешивания коэффициентов можно воспользоваться определяющим контрастом. Определяющий контраст получают умножением генерирующего соотношения на фактор, который введен в план с помощью этого генерирующего соотношения. Для ДФЭ типа 2^4-1 (см. таблицу 4.7) определяющий контраст запишется как

.

Для определения характера смешивания коэффициентов регрессионной модели последовательно рассматривают произведения определяющего контраста на факторы и их произведения. Например, для коэффициентов и получим

, (4.38)

. (4.39)

Запись в выражении (4.38) означает, что коэффициент содержит эффект как за счет фактора x ₁, так и за счет взаимодействия факторов x ₂, x ₃, x ₄ Вторая запись означает, что коэффициент содержит эффект как за счет взаимодействия факторов x ₁ и x ₂, так и за счет взаимодействия факторов x ₃ и x ₄.

Из выражений вида (4.38), (4.39) следует равенство оценок коэффициентов и и .

ДФЭ преимущественно используется для получения линейных моделей. Однако, если по результатам ДФЭ в линейную модель вводится какое-либо взаимодействие, надо обязательно рассмотреть характер смешивания коэффициентов, чтобы не включить в модель по сути один и тот же коэффициент дважды, например и в случае справедливости записи (4.39).

При планировании ДФЭ важным является вопрос, какое или какие из взаимодействий следует выбрать для введения вместо них в исходный план новых факторов. Этот вопрос становится тем сложнее, чем большее число факторов участвует в эксперименте.

Так, в случае четырех факторов при выборе полуреплики 2^4-1 возможны уже восемь решений:

.

Если априорная информация о силе влияния эффектов взаимодействий отсутствует, то при введении в исходный план нового фактора выбирают для него вектор-столбец с большим порядком взаимодействия, так как обычно такие эффекты менее значимы, чем эффекты низших порядков. Если же имеется информация о силе эффектов взаимодействия, то она должна быть использована при выборе генерирующего соотношения.

При планировании ДФЭ обычно возникает вопрос, какой план ПФЭ, следовательно, и число факторов, следует выбирать в качестве исходного.

В конструировании и технологии РЭА вначале получают линейные модели объектов исследования. Во многих случаях эти модели оказываются пригодными для дальнейшего инженерного анализа. Число опытов матрицы, необходимое для оценки коэффициентов линейной модели при k факторах, должно быть не менее чем k + 1 (коэффициенты при переменных и свободный член). Кроме того, хотя бы один опыт (степень свободы) необходимо иметь для проверки адекватности линейной модели. Поэтому минимальное число опытов ДФЭ, необходимое для получения линейной модели и проверки ее адекватности, должно быть не менее чем k + 2. Зная значение величины k + 2, необходимо из ряда чисел 4, 8, 16, 32,... выбрать ближайшее большее. Оно укажет минимальное число опытов плана ПФЭ, который может быть выбран в качестве исходного плана.

Пример. Необходимо построить план ДФЭ для исследования влияния на выходной параметр технологического процесса пяти факторов. Информация о силе эффектов взаимодействия факторов отсутствует.

Решение. Построим план ДФЭ применительно к получению линейной модели. Определим минимальное число опытов исходного плана ПФЭ. Так как k + 2 = 7, то оно равно восьми. Значит, в качестве исходного нужно выбрать план типа 2³, а для его построения использовать три фактора.

Информация о силе влияния факторов на выходной параметр технологического процесса отсутствует, поэтому выбираем любые три фактора и строим план ПФЭ типа "2³" (таблица 4.8 столбцы ). При наличии информации следовало бы выбрать наиболее существенно влияющие факторы.

Таблица 4.8— Построение дробного факторного плана в случае пяти факторов

Номер опыта
	—	—	—	—	+
	—	—	+	+	+
	—	+	—	+	—
	-	+	+	—	—
	+	—	—	+	—
	+	—	+	—	—
	+	+	—	—	+
	+	+	+	+	+

Вместо эффектов взаимодействий осталось ввести в исходный план ПФЭ два фактора (). Так как информация о силе эффектов взаимодействия отсутствует, то один из факторов, например вводим за счет взаимодействия высшего порядка, построенного из факторов в исходном плане ПФЭ, то есть вместо произведения. Второй фактор вводим вместо одного из произведений и , например вместо произведения .

Знаки столбцов и , (таблице 4.8) необходимо проставить с учетом знаков произведений, вместо которых были введены эти факторы.

Построенный план ДФЭ представляет собой 1/4 плана ПФЭ типа 2⁵. Если линейная модель, полученная по результатам опытов этого плана, окажется неадекватной, то в данном случае имеется возможность ввести один-два наиболее влияющих эффекта взаимодействия факторов и проверить адекватность новой модели.

При решении практических задач матрицы ДФЭ могут быть спланированы для числа факторов k > 4. Как было показано, исходный план должен иметь не менее чем k + 2 опытов. В случае трех факторов в качестве исходного плана должен быть принят план, имеющий восемь опытов, который представляет собой ПФЭ типа 2³. И все три фактора должны быть использованы в качестве исходных. Факторов, которые должны быть введены в исходный план ПФЭ вместо малозначимых взаимодействий, не остается.

4.7.8. Выполнение ДФЭ и обработка его результатов

Выполняются ДФЭ аналогично ПФЭ, то есть при необходимости проводятся серии параллельных опытов, а принцип рандомизации опытов реализуется для опытов каждой серии.

Статистическая обработка результатов ДФЭ отличается от статистической обработки ПФЭ лишь числом и составом определяемых коэффициентов будущей математической модели.

При статистической обработке результатов ДФЭ обычно интересуются коэффициентами линейной модели b ₀, b_j, j = 1,..., k. Если впоследствии выяснится, что она неадекватна результатам эксперимента, иногда есть возможность дополнить эту модель некоторыми нелинейными членами (членами с произведением факторов). Однако, в этом случае необходимо помнить, что максимальное число коэффициентов, включаемых в математическую модель, не должно превышать N — 1, где N — количество опытов матрицы ДФЭ.

Рассмотренные выше планы ПФЭ и ДФЭ относят к планам первого порядка (линейным планам), так как они позволяют найти раздельные оценки коэффициентов линейной регрессионной модели.

В ряде случаев в конструировании и технологии РЭА могут использоваться планы второго порядка, с более чем двумя уровнями факторов для нахождения оценок коэффициентов регрессионной модели второго порядка (квадратичной).

Дата добавления: 2014-01-13