Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Для детерминированных сигналов удобным оказался гармоничный анализ. В связи с этим желательно использовать аппарат преобразований Фурье к случайному процессу. Однако непосредственное приложение гармонического анализа к случайному процессу невозможно:

1. Реализации случайного процесса не удовлетворяют

Условию абсолютной интегрируемости

2. Для случайного процесса частотный спектр также случайная функция.

Можно обобщить гармоничный анализ, усредняя спектральные разложения, полученные для определенных реализации

X_k(t)

-T/2 T/2 t

Для этого вводим функцию

Для такой функции справедливо преобразование Фурье

- средняя мощность сигнала

Средняя мощность сигнала через част спектр

Функция характеризует распределения мощности реализации по спектру частот (спектральная плотность мощности)

Спектральная плотность совокупности реализации усреднение по ансамблю возможных значений

так как

Переходим к пределу при Т

(1)

Спектральная плотность является усредненной характеристикой совокупности реализации случайного процесса.

Прямое преобразование Фурье для КРФ

КРФ – образует преобразование Фурье: (2)

(1) – (2) – преобразование Ханчина – Винера. Ввести вместо w

Так как для стационарного случайного процесса усреднение по множеству может быть замечено усреднением по времени, то

(*)

Выводы:

А) непосредственным набиранием одной реализаций x(t) и нахождением предела (*)

В) нахождением преобразованием Фурье КРФ

Функция играет большую роль. Для выяснения физического

смысла примем

Так как - мощность сигнала, то дает усредненную энергетическую картину распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Из свидетельства преобразование Фурье следует, что при растяжении ее частный спектр сужается.

В связи с этим свойством рассматриваем граничный и наиболее интересный случай, когда т.е. когда спектральная плотность мощности равномерна во всех частотах (белый шум)

КРФ: поскольку интеграл

образуем преобразования Фурье от

Таким образом, КРФ выражается дельта – функцией.

Характерность: значение в любые сколь угодно близкие моменты времени не корректируют. Т. процесс – абсолютно (чисто) процесса.

Понятие «белый шум» основано на спектральном свойстве случайного процесса и совместно не связано с законами распределения плотности вероятности.

Белый шум – идеализация, никогда не встречается в природе, хотя бы потому, что достаточно близкие значения спектральной функций практический корреляционной, а также реальные процессы именной конечную мощность. Подобная идеализация очень важна и значительно упрощает математический анализ и не вносит сколько – нибудь существенной погрешностей.

Спектры реальных процессов практический ограничены полосой , вследствие ограниченности полосы пропускания реальных систем.

С₀

w

w_b

КРФ:

где средняя мощность процесса.

Для такого процесса имеет конечную величину, например, как интервал между точкой и точкой, где первый раз обращается = 0, т.е

Следовательно, ограничение спектра влечет за собой появление корреляции, причем по мере сокращения полосы частот интервал корреляция функции.

Дата добавления: 2014-01-13