Частные производные. Полный дифференциал

Опр. 1. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М; М)<, называют - окрестностью точки М .

Пусть функция двух переменных z=f (x; у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x; у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ; у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f (x; у) изменится на величину , которая называется частичным приращением функции z=f (x; у) по переменной х.

Аналогично величину называют частичным приращением функции по переменной у.

Опр. 2. Если существует предел , то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х и обозначают такими символами: ,,,.

Аналогично = .

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Опр. 3. Частные производные от частных производных , функции z=f (x; у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Пусть функция z=f (x; у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x; у) вместе со своими частными производными (х; у) и(х; у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+ ;у+) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Опр. 4. Если полное приращение функции z=f (x; у) в точке М (x; у) = f (x+ ; у +)– f (x; у) можно записать в виде =(х; у)+(х; у)+, где – бесконечно малые функции при , , то функция z=f (x; у) называется дифференцируемой в точке М (x; у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz= +.

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх= , dу= . Поэтому dz= dх + dу, или в других обозначениях dz= dх + dу.

Для функции трёх переменных и=f (x; у; z) dи= dх + dу+ dz.

Полный дифференциал функции z=f (x; у) dz= dх + dу,который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле d²z=d (dz).

Тогда

d²z=d ( dх+ dу)=( dх+ dу) dх+ ( dх+ dу) dу=

= dх²+ dуdх+ dхdу+ dу²,

откуда d²z= dх²+ 2 dхdу+ dу².

Символически это можно записать так: d²z= ( dх+ dу)² z.

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п -го порядка: d^пz=d (d^п-1z)=( dх+ dу) ^пz.

Дата добавления: 2014-01-13